Geraden im Quader, Schnittpunkte?
Ich verstehe was ich hier machen muss und wie der Rechenweg ist.
Mein Problem ist,
wie lauten die Punkte? Kann mir einer sagen mit welchen Punkten ich rechnen muss?
2 Antworten
Wenn wir eine Ecke des Quaders (oder allgemein eines "Parallelepipeds" - der 3dimensionalen Entsprechung eines Parallelogramm) mit A bezeichnen und die benachbarten Ecken mit B, C und D, dann sind die Seitenvektoren ausgedrückt durch die Ortsvektoren der Punkte
b := B - A
c := C - A
d := D - A
und die übrigen Ecken ergeben sich durch Addition der Seitenvektoren zu B, C und D so, dass von A aus jeder Vektor maximal einmal addiert wird. Also
E := A + c + d
F := A + b + d
G := A + b + c
H := A + B + C + D
Gegenüber liegen sich zwei Ecken genau dann, wenn sich die Differenz ihrer Ortsvektoren aus allen 3 Seitenvektoren zusammensetzt, jeweils entweder vorwärts (+) oder rückwärts (-).
Also
A und H (H - A = b + c + d)
B und E (E - B = c + d - b)
C und F (F - C = b + d - c)
D und G (G - D = b + c - d)
E und B (B - E = b - c - d)
usw. (Ich habe E erwähnt, weil man nicht unbedingt darauf achten muss, jeden Punkt nur einmal zu erwähnen.)
Wenig überraschend schneiden sich die Raumdiagonalen im gemeinsamen Mittelpunkt. Das ist noch zu zeigen. D. h. wir müssen zeigen, dass gilt:
M = A + 1/2 (H - A)
M = B + 1/2 (E - B)
M = C + 1/2 (F - C)
M = D + 1/2 (G - D)
Wenn man hier die Ortsvektoren durch A und die drei Basisseitenvektoren ausdrückt, kommt jedesmal dasselbe heraus. (Was dies ist überlasse ich dir auszurechnen.)
Das ist jetzt ein ganz allgemeines Ergebnis; erwartet wird hier wohl, dass ihr die konkreten Punkte aus der Zeichnung nehmt, etwa mit der Belegung
A = (0|0|0)
B = (6|0|0)
C = (0|8|0)
D = (0|0|5)
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Um herauszufinden, ob sich zwei Gersden schneiden, stellst du die beiden Gerafengleichungen auf - hier sind je zwei Punkte für die Geraden gegeben, da können wir ansetzen
g1: X1(r1) = P1 + r1 × (Q1 - P1)
g2: X2(r2) = P2 + r2 × (Q2 - P2)
wobei P1 und Q1 die beiden Punkte sind, die g1 festlegen, r1 ein Parameter, der alle reellen Zahlen durchläuft, und X1(r1) eine Funktion für einen Punkt, der mit r1 alle Punkte der Geraden durchläuft; entsprechend für den Index 2.
Das Gleichungssystem
X1(r1) = X2(r2)
versuchen wir jetzt, nach r1 und r2 aufzulösen; wenn eine Lösung existiert, gibt sie die Parameter für den Schnittpunkt an, wenn keine Lösung existiert, schneidem sich die Geraden nicht.
Das ist für jedes Paar (rote Raumdiagonale; blaue Gerade) zu tun.
Also die gerade Gleichung der blauen zuerst bestimmen m×x+T und dann jeweils mit den raumdiagonalen gleichsetzen um zu schauen ob es einen Schnittpunkt gibt
Tipp es empfiehlt sich mit dem satzt des Pythagoras zu arbeiten