Funktionen?
Hallo liebe Community,
ich weiß nicht wie diese Art Aufgabe angehen soll und habe da meine Schwierigkeiten. Wie kann ich es berechnen?
1 Antwort
Die maximale Rechteckfläche A im gegebenen Dreieck ist gesucht. Das ist eine Extremwertaufgabe. Ich sehe 3 Möglichkeiten, wie man diese Aufgabe lösen kann:
1)
A = a * b → Maximum
Nebenbedingung über ähnliche Dreiecke:
(120 - a) / b = a / (60 - b)
a = 120 - 2 * b
oben eingesetzt:
A(b) = (120 - 2 * b) * b
Das führt nach Ableitung und gleich Null setzen zu a = 60 und a in die Nebenbedingung eingesetzt zu b = 30. A = 1800 m²
2)
A = x * f(x)
f(x) ist die lineare Funktion der Badstraße. Es können abgelesen werden:
P (120│0) und Q (0│60)
Steigung m = (60 - 0) / (0 - 120) = -1 / 2 ; y-Abschnitt b kann abgelesen werden
y = (-1 / 2) * x + 60
A(x) = x * ((-1 / 2) * x + 60)
Das führt nach Ableitung und gleich Null setzen zu x = 60 und x in die lineare Funktion eingesetzt zu y = 30. A = 1800 m²
3)
ohne Differentialrechnung:
Die lineare Funktion wird bestimmt, wie unter 2)
A = x * f(x)
f(x) ist die lineare Funktion der Badstraße. Es können abgelesen werden:
P (120│0) und Q (0│60)
Steigung m = (60 - 0) / (0 - 120) = -1 / 2 ; y-Abschnitt b kann abgelesen werden
y = (-1 / 2) * x + 60
A(x) = x * ((-1 / 2) * x + 60)
Da es sich um eine Parabel handelt und der Scheitelpunkt der Extrempunkt einer Parabel ist, reicht es aus, die Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform umzuformen:
A(x) = (-1 / 2) * x² + 60 * x
A(x) = (-1 / 2) * (x² - 120 * x + 60² - 60²)
A(x) = (-1 / 2) * (x - 60)² + 1800
x = 60
A(60) = 1800 m²
y = (-1 / 2) * 60 + 60
y = 30