Frage zur einer Geometrie/Mathematik Aufgabe. Abitur?
Moin,
Ich komme hier nicht weiter.
Hat jemand die Lösung dafür?
1 Antwort
Erst mal brauchen wir einen Nullpunkt und Namen für verschiedene Größen/Abstände.
Da die Funktionswerte der g_(a,b) gleich bleiben, wenn man x durch -x ersetzt, muss die x-Koordinate des Nullpunkt in der Mitte der Brücke liegen. Hier ist nur der Punkt C eingetragen - also nehmen wir den (alles Andere würde die Sache unnötig kompliziert machen).
Die Punkte B und D liegen dann bei
( x_B | y_B )
( x_D | y_D )
Lt. Aufgabenstellung ist y_B = y_D = 152 m und x_D - x_B = 1280 m
(wir wählen rechts als die Richtung steigender x-Werte)
-----
Modellieren der Funktion
(endlich mal eine Aufgabe, die nicht die übliche Parabelnäherung nimmt, sondern tatsächlich die "Kettenlinie", entlang der ein Seil tatsächlich hängt)
Der Graph von g_(a,b) muss durch die Punkte B, C und D verlaufen, d. h.
g_(a,b)(x_B) = y_B
g_(a,b)(0) = 0
g_(a,b)(x_D) = y_D
Funktionsterme einsetzen und nach a und b auflösen
(Das Gleichungssystem ist überbestimmt - wir müssen also noch auf Konsistenz prüfen oder mit Symmetrie argumentieren)
Bedeutungen von a und b
a wird zum Rest des Funktionsterms hinzugefügt - das bedeutet eine Verschiebung in y-Richtung
b wird mit x multipliziert, und zwar bei allen Vorkommen von x gleichermaßen - das bedeutet eine Stauchung/Streckung um den Faktor 1/b
(das gilt übrigens für alle Funktionsterme; ein Summand zu x bedeutet eine Verschiebung in Gegenrichtung)
-----
Punkt P:
wir haben schon die Koordinatenbezeichnungen x (nach rechts) und y (nach oben) verwendet. Um nicht durcheinander zu kommen, behalten wir sie bei. Für die Richtung nach vorn (oder nach hinten - kommt auf dasselbe hinaus) bietet sich "z" an.
P liegt gegenüber B, bezogen auf die Brücke. Die x- und y-Koordinaten sind also gleich, nur z ändert sich.
Jetzt müssen wir uns entscheiden, ob wir den z-Nullpunkt in die Mitte der Brücke oder auf eine der Seiten legen. Die Endergebnisse bleiben dieselben, nur die Zahlenwerte der Zwischenergebnisse sind andere.
Nehmen wir z_B = 0; dann ist z_P = 27
(z_P = -27 ginge genauso gut, hätte aber eine Möglichkeit mehr, durcheinander zu kommen)
Der Abstand von P und Q ist bekanntlich
d(P,Q) = √( (x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2)
Dies anwenden auf P und D.
Der Winkel zwischen zwei Vektoren hängt mit dem Skalarprodukt dieser Vektoren und mit ihren Längen zusammen:
cos(alpha(a, b)) = <a, b> / √(<a, a> <b, b>)
wobei <a, b> das Skalarprodukt der Vektoren a und b bedeutet.