Frage zur Berührungstangente?
Hallo, kann mir vielleicht jemand bei Aufgabe 6 helfen?
3 Antworten
Du willst a so wählen, dass die Gleichung a + x² = x genau eine Lösung hat.
Wenn wir die Gleichung umstellen, erhalten wir: 0 = x² - x + a
Und diese Gleichung soll eine einzige Lösung haben.
Dafür muss die Diskriminante null sein: D = (-1)² - 4*1*a = 1 - 4a
1 - 4a = 0 ⇔ a = 1/4
Also muss a = 1/4 sein.
Die Berührtangente ist einfach g, da deren Graph den Graph von f tangiert.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Alternative zur Berechnung von Willibergi:
"Berühren" bedeutet, dass zwei Funktionen in einem Punkt die gleiche Steigung haben, also dass die 1. Ableitung der Funktionen gleich ist:
Steigung f(x):
f'(x) = 2x
Steigung g
g'(x) = 1
es muss also gelten:
2x = 1
x = 0,5
nun muss a so gewählt werden, dass der Punkt mit der x-Koordinate 0,5 (da, wo beide Funktionen die gleiche Steigung haben) auf f(x) liegt.
Also: f(0,5) = g(0,5) = 0,5
f(0,5) = a + 0,5² = 0,5
a + 0,25 = 0,5
a = 0,25
Der Weg gefällt mir:
1. beide Bedingungen ausgenutzt (gleiche Steigung + gleicher Funktionswert)
2. mit der Steigung angefangen, da dies eine einfachere Gleichung liefert.
DH
Berührtangente ist doppelt gemoppelt, wie Tangiertangente.
g(x) = x ist die Berührtangente.
Du musst a so wählen, dass an der Stelle, wo die Ableitung gleich der Steigung der Tangente ist, zusätzlich gilt f(x) = g(x).
Vielen Dank! :)