Frage zum kapazitiven Blindwiderstand Xc?
Hallo,
ich habe eine Frage zum kapazitiven Blindwiderstand.
Frage 1:
In den elektrotechnik Büchern werden folgende Formeln angegeben:
1 Formel:
2 Formel:
Jetzt stellt sich mir die Frage, wann ich welche verwenden muss.
Hinweis: Unterstriche bei den komplexen Größen fehlen.
So wie ich das verstanden habe verwende ich die 1 Formel, wenn ich z.B. den komplexen Widerstand Z = R + j* Xc berechnen möchte.
Wenn ich jetzt aber z.B. den komplexen Strom I = U / Z berechnen möchte, dann rechne ich mit der 2 Formel.
Stimmt das so?
Frage 2:
Bei der 2 Formel:
was passiert mit dem j ?
Die ergebnisse bei dieser Formel sind bei den berechneten Beispielen immer positiv. Kann ich j weglassen und so rechnen?
Beispiel: f = 80Hz, C = 0,00001F
Bei der 1 Formel wäre hier ein negatives ergebnis rausgekommen:
Habe ich das so richtig verstanden?
VG
3 Antworten
Falls du ein Problem mit komplexen Zahlen hast, empfehle ich dir für das mathematische Verständnis das Music Video von dorfuchs.
https://www.youtube.com/watch?v=HRzQAnUl1C4&t=46s
das was du jetzt in dem Video als i kennengelernt hast ist in der Elektrotechnik das j wenn du also das j quadrierst bleibt -1 übrig und das j verschwindet weil es eben genauso definiert ist.
Die komplexe Zahl ist dann z.b. die Impedanz also das Ergebnis wenn du den Realteil mit dem Imaginärteil addierst. Dieser ist über den Pythagoras definiert das heißt beim Pythagoras verschwindet ebenfalls das j. Du musst nur aufpassen, denn die komplexe Zahl ist nicht einfach nur eine Zahl sondern sie hat auch noch einen Winkel. Du kannst Betrag und Winkel schön in der Polarform angeben also:
Z=R*jXC
das ist die Komponenten Schreibweise. Also so wie das Z bereits da steht ist bereits die Darstellung für die komplexe Zahl. Das soll also eine Zahl darstellen. Aber es gibt auch noch die Polarschreibweise mit Betrag und Winkel:
Z=|Z|*e^jφ
Also hier sehen wir das j wieder es bleibt also in der komplexen Größe enthalten und dann haben wir den jeweiligen Winkel oder den Term der den Winkel ergibt.
Warum macht man das so? Ganz einfach es ist viel leichter komplexe Zahlen zu multiplizieren oder zu dividieren mit dieser Schreibweise denn dann werden die Exponenten einfach nur addiert oder subtrahiert.
Für die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen eignet sich die Komponentenschreibweise weil du dann alle j Anteile und alle Realanteile miteinander verrechnen kannst.
Du kannst übrigens auch einen Sinus als komplexe Zahl darstellen dabei erhalten wir einfach einen rotierenden komplexen Zeiger also nehmen wir die einfache Funktionsgleichung von einem Sinus:
f(x)=a*sin(b*x+c)+d
und schreiben das jetzt als Polardarstellung. Im Prinzip ist a die Amplitude also der Betrag unserer komplexen Größe. Und der Winkel ist abhängig vom Argument der im Sinus steht und d wird einfach nur dazu addiert:
f(x)=a*(e^i(b*x+c))+d
Das wir das machen können liegt an der "Eulerbeziehung" sie verknüpft komplexe Exponentialfunktionen mit Sinus und Cosinus Funktionen:
e^iφ=cos(φ)+i*sin(φ)
Die erste Formel ist nur der Betrag dieser Größe. Die zweite Formel ist eben die komplexe Darstellung. Sprich wenn du von der zweiten Formel den Betrag bildest kommt die erste raus.
Grundsätzlich kannst du eigentlich immer die zweite Verwenden und am Ende den Betrag bilden.
Bei der Darstellung der Impedanz von Z=R+jXc musst du den Betrag nehmen allerdings kannst du die Formel auch Z=R+Xc schreiben wobei Xc jetzt eben 1/(jwC) ist.
Damit du das j jetzt in den Zähler bringst erweitert man mit j/j und kommt auf j/(j²wC) da gilt j²=-1 folgt daraus -j*1/(wC) also Z = R -j*1/(wC)
Da steckt auch schon drinnen was mit dem j passiert. Den Vorzeichenfehler hast du am Ende weil du das j einfach weglässt was du aber so nicht machen darfst. Damit du das Ergebnis als Kompexe Zahl schreiben kannst musst du es eben in die Form Re+jIm bringen sprich es darf nur noch ein j im Zähler stehen und keines im Nenner und daher kommt dann auch das -
Natürlich kannst du die Formel 2 auch direkt als Xc=-j*1/(wC) schreiben dann vergisst du am Ende das Minus nicht. Sofern das Ergebnis aber am Ende eine komplexe Zahl sein muss, musst du auch das j mitziehen.
Ja das - ist hier wichtig, weil die Phasenverschiebung zwischen Induktivitäten und Kondensatoren eben genau 180° ist. Das wird später eventuell noch wichtig weil das der Grund ist warum Schwingkreise so funktionieren.
Ich habe mir jetzt mal ein paar Beispiele angeschaut.
XL oder XC ist nur der Betrag ohne Winkel.
XL_ oder XC_ ist die komplexe Größe mit Betrag und Winkel.
Das bedeutet, das XL_ nichts anderes ist als: XL_ = j * XL
Bei XC_ ist das genauso: XC_ = -j * XC
Wenn XL z.B. 245 Ohm (Betrag wird errechnet aus XL = w * C) wäre, dann ist die komplexe Größe: XL_ = 245 /_ 90°, dass ist das selbe wie: XL_ = j * 245
Wenn XC z.B. -145 Ohm (Betrag wird errechnet aus XC = -1 / (w * C)) wäre, dann ist die komplexe Größe: XC_ = -145 /_ -90° oder auch: XC_ = -j * 145.
(Hinweis: /_ = Versor)
So sollte es stimmen?
XL oder XC sollte der reine Imaginärteil sein. Der Betrag hätte kein - davor stehen was aber bei XC ja der Fall ist.
In so fern kannst du schreiben: XL_ = j*XL und XC_ = j*XC sofern du natürlich XC als Betrag nimmst musst du das - dazu schreiben.
(Betrag wird errechnet aus XL = w * C)
Zwar vermutlich richtig gemeint, aber es würde gelten XL = w*L
Wenn XC z.B. -145 Ohm (Betrag wird errechnet aus XC = -1 / (w * C)) wäre, dann ist die komplexe Größe: XC_ = -145 /_ -90° oder auch: XC_ = -j * 145.
Da hast du einen Fehler entweder ist XC_ = -145/90° (diese Schreibweise ist nicht Standard weil davor ja der Betrag steht) oder 145/-90° oder eben - j*145. Gängigerweise würdest du es als komplexe Zahl in der Betrag Winkeldarstellung als 145/-90° schreiben.
Das ist aber falsch
Betrag wird errechnet aus XC = -1 / (w * C)
Der Betrag ist natürlich 1/(w*C) der Imaginärteil ist aber XC = -1/(wC)
Ich sehe gerade ich habe in meiner Antwort auch einen Fehler weil ich zunächst geschrieben habe, dass die erste Formel aus der zweiten durch die Betragsbildung entseht. Das ist so nicht richtig, da sollte eigentlich stehen, dass die erste Formel der Imaginärteil der zweiten Formel ist.
In meiner Antwort steht es aber leider jetzt so, dass XC der Betrag wäre was aber zunächst in dieser Ausführung falsch ist. YBCO123 hats richtig geschrieben. Das ist leider allgemein etwas trickreich weil Z anstellen von Z_ den Betrag von Z bezeichnet und nicht nur den Imaginärteil.
Kleiner Nachtrag:
Ich glaube außerdem, dass du nicht konsequent zwischen Betrag, reller Größe und Komplexer Größe unterscheidest.
Die Komplexe Größe schreibt man normal mit einem Strich darüber. Ich werde hier Xc _Strich schreiben.
Es gilt Xc_Strich = 1/(jwC) = -j*1/(wC)
Und Xc (hier steht kein Strich) = Im(Xc_Strich) = -1/wC
Allerdings kann Xc ohne Strich auch den Betrag von Xc_Strich bedeuten welcher eben ein positives Vorzeichen hätte. In beiden Fällen ist Xc aber eine relle Größe und nicht mehr komplex.
ist die komplexe Impedanz.
Der Imaginärteil davon ist der Blindwiderstand, also in diesem Fall
Dann habe ich bei beiden Formel ein Minus davor.
Danke für die Hilfe.