Frage, bitte, Kreisgeometrie 2. Klasse Kanti?
Hallo miteinander
Ich habe zwei Aufgaben, die ich nicht verstehe.
Die erste Aufgabe lautet: Gegeben ist die Strecke AB mit AB = 6cm. Konstruiere und schraffiere die Menge der Punkte P, von denen aus man die Strecke AB unter mindestens 70 Grad und weniger als 105 Grad sieht und die nicht mehr als 4 cm von B entfernt sind.
Die zweite Aufgabe lautet: Zeichne ein Dreieck ABC mit den Seiten a = 7cm, b = 5cm und c = 6cm. Kennzeichne farbig die Menge aller Punkte, von den aus AC unter dem Winkel alpha<90 Grad und BC unter dem Winkel beta grössergleich 130 Grad erscheint.
Könnt ihr mir bitte die Aufgaben erklären, indem ihr mir Schritt für Schritt eklärt, was zu tun ist, damit ich es verstehe?
Danke für euer Verständnis
Liebe Grüsse
Antonym130
4 Antworten
Hallo,
bei der ersten Aufgabe kann ich Dir helfen.
Kennst Du den Peripheriewinkelsatz? Der besagt: Wenn Du in einen Kreis eine Sehne zeichnest und deren beiden Endpunkte mit dem Kreismittelpunkt verbindest, ist dieser Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Peripheriewinkel über demselben Bogen, der Winkel also, der entsteht, wenn Du die beiden Enden der Sehne mit irgendeinem Punkt auf der Kreisperipherie verbindest, die sich oberhalb dieser Sehne befindet. Oberhalb bedeutet hier die Richtung von der Sehne zum Kreismittelpunkt.
Unterhalb der Sehne entsteht ein Winkel, der diesen Peripheriewinkel zu 180° ergänzt.
Ist die Sehne der Durchmesser des Kreises, geht also durch den Mittelpunkt, so ist der Mittelpunktwinkel ein gestreckter Winkel von 180°, während die Peripheriewinkel alle 90° haben, also rechte Winkel sind.
Um alle Punkte zu konstruieren, unter der eine bestimmte Strecke unter einem Winkel von 70° zu sehen ist, konstruierst Du ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Doppelten des gewünschten Winkels als Spitze.
70*2=140.
Die Basiswinkel müssen demnach 180-140=40° ergeben. Da sie gleich groß sind, hat jeder 20°.
Du beginnst also mit der Strecke AB=6 cm. In A und in B konstruierst Du jeweils Winkel, die in bezug auf diese Strecke 20° haben. Wo sich ihre freien Schenkel kreuzen, ist Punkt M, der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius MA bzw. MB.
Zeichne diesen Kreis.
Verbindest Du nun A und B jeweils mit irgendeinem Punkt auf der Kreisperipherie, ist der Winkel zwischen diesen beiden Verbindungen immer 70°.
Schlägst Du nun um B einen Kreis mit dem Radius 4 cm, ist jeder Punkt auf dem ersten Kreis, der sich innerhalb des zweiten Kreises und gleichzeitig oberhalb von AB befindet, ein Punkt, unter dem AB unter einem Winkel von 70° erscheint.
Das ist die eine Grenze.
Die andere liegt beim Winkel von 105°. Der muß unterhalb der Sehne konstruiert werden, weil er über 90° groß ist.
Er ergänzt einen Peripheriewinkel von 75° zu 180°.
Du konstruierst also auf die gleiche Weise wie eben einen Kreismittelpunkt, der mit A und B einen Winkel von 2*75=150° bildet, konstruierst auch diesen Kreis. Nun sind alle Peripheriewinkel unterhalb der Sehne von der gewünschten Größe.
Als Drittes konstruierst Du noch einen Kreis mit AB als Durchmesser, weil ab hier der Bereich unterhalb der Sehne zählt.
Die Punkte, die gesucht sind, befinden sich nun innerhalb des Kreises mit 4 cm um B, gleichzeitig zwischen dem Kreis, mit dem die Winkel von 70° gebildet werden und dem Halbkreis oberhalb der Sehne; zwischen dem Kreis für 105° und dem Halbkreis unterhalb der Sehne.
Ich habe Dir eine Konstruktionszeichnung gemacht.
Die gesuchten Punkte liegen im türkisen Bereich zwischen dem blauen und dem grünen Kreisbogen oberhalb von AB und im gleichen Bereich zwischen dem roten und dem grünen Kreisbogen unterhalb von AB.
Herzliche Grüße,
Willy
Natürlich muß das Ganze noch gespiegelt werden. Das hattest Du aber doch bereits geschrieben. Ein bißchen mitdenken sollen die Fragesteller ja auch noch.
Schließlich läßt sich das Spielchen mit den Winkeln auch auf der anderen Seite von AB machen.
Mit den gespiegelten Bereichen wäre die Skizze zu unübersichtlich geworden.
Aber um ehrlich zu sein:
An das Spiegeln habe ich erst gedacht, als der Rechner bereits heruntergefahren war; und ich hatte keine Lust, ihn noch einmal hochzufahren.
Ich denke aber, der FS hat das Prinzip verstanden, wie man an solche Aufgaben herangehen kann.
Vielen vielen Dank für deine Erklärung. Ich habe es verstanden.
Aber nicht vergessen, noch alles an AB zu spiegeln, wie auch rumar in seiner Antwort schrieb.
Das sind Aufgaben zum Thema "Fasskreisbogen". Das habt ihr bestimmt kürzlich behandelt. Sieh dir die Theorie und die Beispiele dazu nochmals genau durch. Konstruiere also zuerst mal die beiden oberen Fasskreisbögen über der Sehne AB zu den Peripheriewinkeln 105° und 70° (wie das im Einzelnen geht, solltest du gelernt haben). Das Gebiet zwischen diesen beiden Bögen ist "mondförmig", und aus jedem Punkt innerhalb dieses Mondes sieht man die Strecke AB unter einem Sichtwinkel im gewünschten Intervall.
Die Bögen bzw. den ganzen Mond kannst du auch an der Geraden AB spiegeln. Auch die Punkte in diesem zweiten Mond erfüllen die gewünschte Bedingung. Nun wendest du noch die weitere Bedingung (Maximalentfernung von B) an. Von den beiden Möndchen bleibt also nur je ein Teilstück übrig. Diese beiden Teilstücke sind zueinander symmetrisch und bilden zusammen das zu schraffierende Gebiet.
Wenn du das schaffst und verstehst, kannst du auch die andere Aufgabe lösen.
Hier noch meine Konstruktion. Bei A und B werden die Winkel 70° bzw. 105° nach unten abgetragen (Strahlen u,v). Die darauf errichteten Normalen schneiden die Mittelsenkrechte von AB in den Punkten M und N. Dies sind die Zentren der benötigten Fasskreisbögen m und n über der Strecke AB.
Zusammen mit dem Kreis um B mit Radius 4 umschließen diese das erste (obere) blau eingerahmte Teilstück des Lösungsgebietes. Dieses kann an der Geraden AB gespiegelt werden zum zweiten, unteren Teilstück.
Leider wird das png-Bild invertiert dargestellt. Wie kann man das korrigieren?
Ach, so einfach, danke sehr! Warum ist mir das nicht eingefallen ....
Hallo,
ich habe noch einmal eine Skizze mit den entsprechenden Spiegelungen gemacht.
Alles, was sich gleichzeitig im schattierten Kreis um B, außerhalb der roten und innerhalb der blauen Kreisbögen befindet, erfüllt die Voraussetzungen.
Willy
Wegen der Spiegelung ist der grüne Kreis, der die 90°-Winkel markiert, überflüssig geworden.
ich verstehe nicht ganz wie du den ortsbogen von 105 Grad zeichnest.
Die Strecke AB ist die Sehne eines Kreises, dessen Mittelpunkt allerdings noch bestimmt werden muß.
Wenn Du einen Winkel konstruieren möchtest, der dieser Sehne gegenüber liegt, und der eine bestimmte Größe haben soll, benutzt Du den Satz vom Peripheriewinkel: Jeder Winkel, der entsteht, wenn man die Enden einer Kreissehne mit irgendeinem Punkt auf dem Kreisbogen verbindet, der oberhalb der Sehne liegt, ist genau halb so groß wie der Winkel, der entsteht, wenn man die beiden Enden mit dem Kreismittelpunkt verbindet.
Der Winkel, der entsteht, wenn Du die Sehnenenden mit einem Punkt auf dem Kreisbogen unterhalb der Sehne verbindest, ergänzt diesen Peripheriewinkel zu 180°.
Oberhalb des Bogens kannst Du Winkel zwischen 0° und 90° konstruieren, unterhalb solche zwischen 90° und 180°.
Da Du einen Winkel von 105° brauchst, ist es der Peripheriewinkel unterhalb der Sehne, der den Winkel oberhalb der Sehne zu 180° ergänzt.
Der Winkel oberhalb hat dann 180-105=75°.
Der dazugehörige Mittelpunktwinkel ist doppelt so groß, also 150°.
Da die Enden der Sehne mit dem Mittelpunkt ein gleichschenkliges Dreieck bilden, haben die Basiswinkel 180-150° geteilt durch 2, also jeweils 15°.
Du legst also an A und an B jeweilis Winkel von 15° an.
Wo sich die freien Schenkel treffen, ist der Mittelpunkt des dazugehörigen Kreises.
Von diesem Mittelpunkt aus erscheint die Sehne AB unter einem Winkel von 150°. Jeder Peripheriewinkel oberhalb dieser Sehne ist genau halb so groß, also 75°, jeder Peripheriewinkel unterhalb der Sehne ergänzt diese 75° zu 180°, ist also 105° groß.
Von jedem Punkt auf dem Bogen unterhalb der Sehne AB erscheint diese also unter einem Winkel von 105°.
Willy
Hallo Willy,
ich habe Zweifel an deiner Zeichnung. Ich denke insbesondere, dass der gesuchte Bereich bezüglich der Achse AB symmetrisch sein müsste.