Extremwerte(Lage,Art,größe der lokalen Extrema)?
Hallöchen,
ich und meine Freundinnen haben da eine kleine Frage an euch.
Es wäre sehr sehr lieb, falls uns jemand behilflich seien könnte <3
Frage:
Bestimmen Sie Lage, Art und Größe der lokalen Extrema der Funktionf(x,y)=x^4−2⋅x^2⋅y+2⋅y^2−8⋅y
Wir kommen leider nicht weiter. Könnte jemand die Aufgabe evtl. lösen und Schritt für Schritt erklären was er da macht.
(Habe für die Lösungen habe ich mir die beiden Videos von "Mathe peter angeschaut"https://www.youtube.com/watch?v=j3zed7Khku8. wäre perfekt, falls es auf diese leichte art gelöst wird... aber nur wenn es keine Umstände macht<3)
Ich hoffe wir stören nicht eure wertvolle Zeit, aber wir wären ganze dolle dankbar <3
Mit freundlichen Grüßen
Lisa S.
3 Antworten
Hallo,
wenn bei einer Flächenfunktion Extremwerte vorliegen, müssen sie folgende Voraussetzungen erfüllen:
Die partiellen Ableitungen nach x und nach y verschwinden.
Die Ableitung nach x partiell noch einmal nach x abgeleitet ergibt nach Einsetzen der Nullstelle einen Wert <0, dann kann ein Maximum vorliegen; oder es ergibt einen Wert >0, dann kann es ein Minimum sein.
Das gilt aber nur, wenn die partiellen Ableitungen der Ungleichung fxx*fyy-(fxy)²>0 genügen. Bekommst Du hier einen Wert <0, liegt ein Sattelpunkt vor, bei =0 ist die Art des Extremums nicht über diese Methode zu ermitteln.
Konkret:
f(x;y)=x^4-2x^2y+2y^2-8y
Ableitung nach x ergibt:
fx=4x^3-4xy
Ableitung nach y ergibt
fy=-2x^2+4y-8
Ein notwendiges Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Extrempunktes ist das Verschwinden der beiden partiellen Ableitungen.
Es muß das Gleichungssystem erfüllt sein:
4x^3-4xy=0
-2x^2+4y-8=0
Auflösen der ersten Gleichung ergibt:
4x*(x^2-y)=0
x=0 oder y=x^2
Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt für x=0:
4y=8; y=2
Beim Punkt (0|2) könnte ein Extremwert vorliegen.
Einsetzen von y=x^2 in die zweite Gleichung führt zu weiteren Kandidaten:
-2x^2+4x^2-8=0
x^2=4
x=±2
Da in diesem Fall gilt: y=x^2, bekommen wir zwei weitere Punkte (-2|4) und (2|4).
Um zu entscheiden, bei welchem dieser Punkte tatsächlich Extrema vorliegen,
leiten wir die Ableitung nach x noch einmal nach x und nach y ab; außerdem leiten wir die Ableitung nach y noch einmal nach y ab:
fx=4x^3-4xy
fxx=12x^2-4y
fxy=-4x
fy=-2x^2+4y-8
fyy=4
Nun muß gelten:
fxx*fyy-(fxy)^2>0, also
(12x^2-4y)*4-16x^2>0; also: 32x^2-16y>0 (nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen).
Einsetzen von (0|2) ergibt -32.
Da -32<0, liegt an dieser Stelle ein Sattelpunkt vor.
Einsetzen von (-2|4) ergibt:
128-64=64
Her liegt ein Extrempunkt vor, da 64>0
Einsetzen von (2|4) ergibt ebenfalls 64.
Die Art des Extrempunktes erfahren wir nach Einsetzen der beiden Punkte in fxx:
12x^2-4y
(-2|4) ergibt 32, ebenso (2|4).
Da 32 >0, liegt also in beiden Fällen ein Minimum vor.
Herzliche Grüße,
Willy
Du leitest f zunächst nach x ab:
f(x;y)=x^4-2x^2y+2y^2-8y
Wenn Du das nach x ableitest, bekommst Du fx(x;y).
y wird dabei wie eine Konstante behandelt:
fx(x;y)=4x^3-4xy (die Terme ohne x verschwinden hier, da y wie eine normale Zahl behandelt wird).
Nun leitest Du fx(x;y) nach y ab. Diesmal wird x wie eine normale Zahl behandelt, deshalb verschwindet der Term 4x^3 völlig und es bleibt -4x.
fxy(x;y)=-4x
Das gleiche Ergebnis bekommst Du übrigens auch, wenn Du fyx (x;y) bildest, wenn Du also zunächst nach y ableitest und das Ergebnis danach nach x.
Bzw. Muss ich dann immer mein fx zu fxy ableiten?
Und nochmals Danke <3 Du bist einfach unser Held <3
Aber muss ich immer fxy nehmen oder auch mal fyx?
Da fxy=fyx, ist das egal.
Aus diesem Grund brauchst Du nur eine dieser beiden Ableitungen zu bilden und das Ergebnis nach Einsetzen des Punktes dann zu quadrieren.
Die Diskriminante ist ja fxx*fyy-(fxy)².
Du kannst natürlich statt (fxy)² auch fxy*fyx rechnen - das ist genau das Gleiche.
gelten die Bedingungen >0 bei jeder Funktion? oder ist es nur in diesem Bsp so?
Die gelten bei jeder Flächenfunktion mit zwei Variablen:
Notwendige Bedingung: Die beiden partiellen Ableitungen verschwinden.
Hinreichende Bedingung: Die Ungleichung fxx*fyy-(fxy)²>0 ist an den fraglichen Punkten erfüllt.
In diesem Fall gilt:
fxx<0 Es liegt ein Maximum vor.
fxx>0 Es liegt ein Minimum vor.
Falls fxx*fyy-(fxy)²<0, liegt ein Sattelpunkt vor.
Falls fxx*fyy-(fxy)2=0 ist keine Entscheidung möglich.
Sei die Funktion:
f(x,y) = x^4 −2*y*x^2+2y^2−8y
gegeben. Zunächst gilt es die kritischen Stellen zu bestimmen (mögliche Extremstellen). Hierfür bestimme die Punkte an denen der Gradient der Funktion verschwindet:
https://de.wikipedia.org/wiki/Gradient_(Mathematik)
grad(f(x,y)) = (4x^3 - 4xy , -2x^2 + 4y - 8)^T = (0 , 0)^T
Wir erhalten also ein nichtlineares Gleichungssystem der Form:
(i) 4x^3 - 4xy = 0
(ii) -2x^2 + 4y - 8 = 0
Aus (i) folgt sofort:
4x*(x^2 - y) = 0
und da ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist, folgt als mögliche Lösungen:
1.) x = 0 und y beliebig
2.) x^2 = y
Zusammen mit (ii) folgt dann für beide Fälle:
1.) x = 0 ---> 4y - 8 = 0 ---> y = 2
Also eine Lösung lautet also: x = 0 und y = 2
2.) x^2 = y ---> -2x^2 + 4x^2 - 8 = 0 --> 2x^2 = 8 ---> x = +/- 2
Entsprechend folgen in diesem Falle 2 mögliche Lösungen:
x = 2 und y = 4 oder x = -2 und y = 4
Insgesamt erhalten wir also 3 kritische Stellen x_1, x_2, x_3 mit:
x_1 = (0, 2)^T
x_2 = (2, 4)^T
x_3 = (-2, 4)^T
Das der Gradient verschwindet bezeichnet man als notwendige Bedingung. Wir müssen nun also noch die hinreichende Bedingung überprüfen, die Definitheit der Hesse-Matrix. Es folgt hier:
Hess(f(x,y)) = {{12x^2 - 4y, -4x}, {-4x, 4}}
Für x_1 folgt:
Hess(f(x_1)) = {{-8 , 0}, {0, 4}}
Da es sich hierbei um eine Diagonalmatrix handelt sind die beiden Eigenwerte einfach die Hauptdiagonalelemente. Diese haben unterschiedliche Vorzeichen und daher ist die Matrix weder positiv noch negativ definit. Es handelt sich hierbei also um einen Sattelpunkt.
Für x_2 folgt:
Hess(f(x_2)) = {{32 , -8}, {-8, 4}}
Die Eigenwerte kann man nun im 2-D Fall mittels der Determinante under Spur der Matrix bestimmen. Es gilt:
k1*k2 = det(Hess(f(x_2)))
k1 + k2 = tr(Hess(f(x_2)))
Hier gilt:
k1*k2 = 32*4 - (-8)*(-8) = 64
k1 + k2 = 32 + 4 = 36
Entsprechend erhält man:
k1^2 - 36k1 + 64 = 0
--> k1 = 18 +/- sqrt(18^2 - 64) = 18 +/- sqrt(260)
Entsprechend folgt für k2 = 18 -/+ sqrt(260)s
Wählen wir nun k1 willkürlich als den größten Eigenwert, so folgt:
k1 = 18 + sqrt(260) > 0
k2 = 18 - sqrt(260) > 0
beide Eigenwerte sind positiv, somit ist die Hesse-Matrix an der Stelle positiv definit, entsprechend liegt hier ein lokales Minimum vor.
Für x_3 folgt:
Hess(f(x_2)) = {{32 , 8}, {8, 4}}
Man stellt sofort fest, dass sich die Determinante und Spur nicht verändert haben. Entsprechend folgt damit, dass die Eigenwerte identisch sind und auch in diesem Fall positive Definitheit vorliegt. An der Stelle ist also ein lokales Minimum vorhanden.
Zusammenfassend lässt sich nun also sagen:
x_1 --> Sattelpunkt
x_2, x_3 --> lokale Minima
Das ganze wird dann hier noch einmal bestätigt:
(Für die Extrema ... )
https://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+x%5E4+%E2%88%922*y*x%5E2%2B2y%5E2%E2%88%928y
(Für den Sattelpunkt)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=saddle+point+x%5E4+%E2%88%922*y*x%5E2%2B2y%5E2%E2%88%928y
Ich.. ich bin sprachlos. ich danke dir! Es ist so eine große hilfe<3 Danke danke und nochmals Danke. danke für die Mühe, es hat mir eine Menge geholfen
Hier muss man partiell ableiten
f´y(x)=0=4*x³-4*y*x hier wird y als konstante verwendet
f´x(y)=0=-2*x²+4*y-8 hier wird x als konstant verwendet
Dann gibt es für solche Aufgaben noch spezielle Regeln,um ein Maximum oder Minimum zu ermittel
dazu muss man noch mal ableiten
Allerdings ist das bei mir schon sehr lange her
Deine Antwort ist einfach extrems verständlich und dazu noch hilfreich <3
Ich weiß nicht wie, aber ich danke danke und danke dir <3
Eine klitzekleine Frage hätte ich da noch, wie berechne ich fxy? Also wie bist du da vorgegangen, danke nochmal.
wow. danke <3