Extremalprobleme Wie löse ich diese Aufgabe?
Hallo miteinander Ich kann diese Aufgabe nicht lösen: Kugel mit dem Radius von 5 dm soll der volumengrösste gerade Kreiszylinder einbeschrieben werden. Wie hoch ist dieser?
Ich komme einfach nicht voran.
Danke Euch!
5 Antworten
Kugelradius R
Zylinderradius r
Zylinderhöhe h
Pythagoras R² = r² + (h/2)²
Zylindervolumen V = π • r² • h = π • h • (R² - h²/4)
dV/dh = π • (R² - 3 • h² / 4) = 0
h = R • 2 / √3 r = R • √(2/3)Kontrolle:
r² + (h/2)² = R² • 2/3 + R² • 1/3 = R²
Hallo,
Da Du 'Studium' im Tag hast - hier mal ein etwas anderes Optimierungsverfahren, mit dem Lagrange-Multiplikator ^^:
- V(r, h) = π r^2 h
Das ist das Zylindervolumen mit Radius und Höhe unbekannt. Sie soll unter folgender Bedingung maximal werden:
- r^2 + (h / 2)^2 = R^2
- -> g(r, h) = 0 = r^2 + (h / 2)^2 - R^2
Das folgt aus dem Pythagoras in der Kugel, wobei R = 5 dm der Kreisradius sein soll.
Dann leitest Du V und g partiell ab nach r und h
- ∂V(r, h) / ∂r = λ [ ∂g(r, h) / ∂r ]
- -> bzw. 2 π r h = λ 2 r
- ∂V(r, h) / ∂h = λ [ ∂g(r, h) / ∂h ]
- -> bzw. π r^2 = (1 / 2) h
Eine Gleichung lässt sich gut nach h auflösen, die andere nach r^2:
- h = λ / π
- r^2 = λ^2 / (2 π^2)
Eingesetzt in g(r, h) kann man die Gleichung nach λ auflösen (quadratisch, negativ wird verworfen, da unphysikalisch) und es kommt raus:
- λ = (2 / √(3)) π R
Wenn Du λ jetzt in die Formel für h und r^2 einsetzt, kommt für den optimalen Radius und die optimale Höhe raus:
- r ≈ 4.08 dm
- h ≈ 5.77 dm
Und für das Volumen V ≈ 302 dm^3
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Bei Fragen melde Dich :)
LG. Kesselwagen
Wir nennen den Radius der Kugel R, den Radius des Kreiszylinders r und dessen Höhe h.
Dann können wir das Volumen des Kreiszylinders folgendermaßen in Abhängigkeit von r und h beschreiben:
V(h, r) = πr² ⋅ h
Ich habe (mithilfe meiner zugegebenermaßen etwas gewöhnungsbedürftigen Paint-Künste) mal eine Skizze gebastelt und sie Dir unten angehangen. In der Skizze betrachtet man die Kugel von der Seite und damit erscheint der Kreiszylinder in dieser Ansicht rechteckig. Du kannst dort 2R, 2r und h ablesen.
In der Skizze existiert ein rechter Winkel, was es uns ermöglicht, den Satz des Pythagoras anzuwenden und eine Beziehung zwischen R, r und h herstellen zu können:
(2r)² + h² = (2R)²
Stellen wir diese Formel nun nach h um, erhalten wir:
h = √(4R² - 4r²)
(eine Fallunterscheidung ±√ ist hier nicht notwendig, da eine negative Länge in dem Sachkontext keinen Sinn ergibt und damit vernachlässigt werden kann)
Ersetzen wir nun R durch 5 [dm], kommen wir auf:
h = √(100 - 4r²)
Das setzen wir nun in obige Formel ein für das Volumen des Kreiszylinders ein:
V(h, r) = πr² ⋅ h
V(r) = πr² ⋅ √(100 - 4r²)
Und damit haben wir auch schon eine Formel mit nur einer Unbekannten für das Volumen des Kreiszylinders. Diese leitest Du nun noch ab und berechnest die Nullstelle der Ableitung und schon hast Du Deinen Extremwert.
Zur Kontrolle: r = 5√(2/3) ≈ 4,0825 [dm]
→ V(r) = 500π/√27 ≈ 302,30 [dm³]
Bei Fragen einfach fragen.
LG Willibergi
Hallo,
aus dem Kugelradius von 5 dm ergibt sich, daß für den Zylinder gelten muß:
r²+(h/2)²=25 (Pythagoras)
Mit r ist der Radius des gesuchten Zylinders gemeint, mit h dessen Höhe.
Am besten zeichnest Du den Querschnitt des Zylinders in der Kugel in ein Koordinatensystem mit dem Kreismittelpunkt im Koordinatenursprung, dann siehst Du die Zusammenhänge.
r²+(h/2)²=25 ist die Nebenbedingung.
Das Volumen eines Zylinders berechnet sich nach der Formel
πr²*h
Wenn die Nebenbedingung nach r² umgestellt wird, bekommst Du
r²=25-(h/2)², was wir in die Volumenformel einsetzen:
V=πh*(25-(h/2)²)=25πh-(1/4)πh³
Das Volumen wird maximal, wo die Ableitung gleich Null wird:
V=f(h)
f'(h)=25π-(3/4)πh²=0
(3/4)πh²=25π
h²=100/3
h=5,7735 dm
r²=25-(h/2)²=16,6667
r=4,082 dm
Herzliche Grüße,
Willy
Skizze:
Körperdiagonale vom Zylinder ist doppelter Radius von der Kugel;
Pythagoras: Zylinder
d² + h² = 10²
4r² + h² = 10²
r² = 25 - 0,25h
einsetzen in
V = pi • r² • h
V ' = 0
usw
sonst nachfragen.