Existieren drei verschiedene Primzahlen, deren Produktwert elfmal so groß ist wie deren Summenwert?

P1×P2×P3=x

11×(P1+P2+P3)>x

Comments

[fanymanki161]

Soll da ein > sein oder ein =? Weil sonst kannst du als Primzahlen 2, 3 und 7 nehmen:

2*3*7=56

11*(2+3+7)=132

[Unbiquadium]

jo

Answer 1

[ultrarunner]

Ja.

• 2, 11, 13
• 3, 7, 11

In beiden Fällen ist das Produkt 11 Mal so groß wie die Summe.

Answer 2

[LoverOfPi]

Edit: Ich habe mich darauf festgelegt, dass du P1+P2+P3=11*P1*P2*P3 meinst. Deine Fragestellung ist etwas verwirrend.

Wenn P1*P2*P3=11*(P1+P2+P3), dann ist 11 ein Faktor von P1*P2*P3. Daraus folgt, dass eine der Primzahlen 11 ist. OBdA (das Problem ist symmetrisch in den Primzahlen) gilt also

11*P2*P3=11(11+P2+P3) ->

P2*P3=11+P2+P3

Wir betrachten nun: P2*P3-P2=11+P3

-> P2(P3-1)=11+P3 -> P2=(11+P3)/(P3-1)

Wir sehen: geht P3 gegen unendlich, dann geht P2 gegen 1, aber P2 muss definitiv größer gleich 2 sein. Das nutzen wir, um eine obere Schranke für P3 zu finden.

2≤(11+P3)/(P3-1) <-> 2P3-2 ≤ 11+P3 <-> P3 ≤ 13

Jetzt haben wir es auf eine endliche Menge von Tripeln (11, P2, P3) mit P2, P3 in [2,13], die zu prüfen sind, reduziert. Wenn man klug ist, kann man die zu testenden Paare natürlich weiter reduzieren, aber das überlasse ich dir. Damit findest du aber nicht nur eine Kombination, sondern alle.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester

Answer 3

[nobytree2]

siehe Antwort von LoverOfPi, ich lag falsch