Einheit im Restklassenring?
Hey, ich hab ne Frage. Wann ist a mod b eine Einheit im Restklassenring Z_b ?
Gruß
2 Antworten
Ich nehme an, a und b sind natürliche Zahlen? Genau dann, wenn a und b teilerfremd sind. (Eigentlich müsste es heißen: "die Restklasse von a mod b".)
Was heißt schon "anschaulich" in der Zahlentheorie? Ich kann es leicht begründen, aber "anschauen" würde ich das nicht nennen:
1) Wenn a und b einen gemeinsamen Teiler t>1 haben, kann es kein Vielfaches von a geben, das in der Restklasse 1+bZ liegt. Denn sonst müsste die Gleichung ax+bz = 1 in ganzen Zahlen x,z lösbar sein. Aber die linke Seite ist durch t teilbar und 1 natürlich nicht. Also ist die Restklasse a+bZ in Z_b nicht invertierbar.
2) Der ggT zweier ganzer Zahlen a,b ist immer in der Form ax + by (mit ganzen Zahlen x,y) darstellbar. Ist also der ggT von a und b gleich 1 (~Teilerfremdheit von a und b), so gibt es ganze Zahlen x,y mit ax + by = 1. Dann gilt aber
1 ist Element von (a+bZ)(x+bZ).
D.h. in Z_b gilt die Gleichung (a+bZ)(x+bZ) = 1+bZ. Die Restklasse a+bZ ist invertierbar.
Denke daran, dass das Produkt zweier Restklassen mod b im Ring Z_b nicht gleich der Menge aller Produkte ist, bei denen der eine Faktor aus der einen Restklasse, der andere aus der anderen Restklasse ist!
Vielmehr ist das Entscheidende, dass es (genau) eine Restklasse mod b gibt, die alle diese Produkte enthält (aber i.a. noch viele weitere Elemente). Diese Restklasse ist per Definition der Multiplikation in Z_b das Produkt der beiden gegebenen Restklassen.
Ah, habs glaube ich jetzt verstanden. Die Erklärung hat geholfen, danke dir !
- Wenn b eine Primzahl ist, sind alle Elemente in Z_b Einheiten
Für die anderen Fälle müsste ich mal noch überlegen, hatte gerade auch eine Denkfehler drinnen
alle Elemente außer der Nullrestklasse meinst du wohl. Aber dass b eine Primzahl ist, ist ein drastischer (wenn auch wichtiger) Spezialfall.
Ja, die Null ausgebimmen.
Ist eben der Fall, dass es ein Körper ist, der ist mir als einziger in den Sinn gekommen.
Ah ok, das hat es für mich schon ganz gut erklärt.
Das hab ich auch gefunden, könntest du mir ne anschauliche Erklärung dafür geben?