Dürfen Passwörter Umlaute haben?

Ja, aber Du solltest dann auch in der Lage sein, sie einzugeben. Je nach angeschlossener Tastatur und Ländereinstellung können Umlaute und Sonderzeichen herausfordernd werden.

Kommt drauf an.

Manche Programme/Webseiten akzeptieren Umlaute bei Passwörtern, aber nicht alle.
Das müsstest du also immer im Einzelfall gucken welche Zeichen entsprechend für das Passwort zulässig sind und welche nicht.

Die meisten moderneren Programme/Webseiten akzeptieren Umlaute jedenfalls.

Kommt drauf an ob die Website, Script, Browser die codepage (Zeichensatztabelle) kennen/akzeptieren.

wikipedia.org/wiki/Zeichensatztabelle

Die meisten Programme und Eingaben akzeptieren Sonderzeichen oder Umlaute.

Modene Software akzeptiert Umlaute. Umlaute und Sonderzeichen sind sogar erwüscht um die Passwortstärke zu erhöhen.