Die Quadratwurzel einer Zahl ist stets immer kleiner als die Zahl selbst? Stimmt das? Und was ist die Begründung?
6 Antworten
Hallo, die Fragestellung hört sich so nicht ganz richtig an. Ich formuliere mal um, um auch eine Antwort geben zu können.
"Der Betrag der Quadratwurzel einer Zahl ist stets kleiner als die Zahl selbst."
Diese Aussage stimmt nur für Zahlen x, aus denen wir die Wurzel ziehen wollen, für deren Betrag folgendes gilt:
|x| > 1
1.) Die Fälle x = 1 und x = 0
Wurzel 0 = 0
Wurzel 1 = ±1
|Wurzel 1| = 1
--> Betrag der Wurzel genauso groß wie x, wenn x gleich 0 oder 1
2.) x > 1 (Bsp. x = 1,21)
Wurzel 1,21 = ± 1,1
|Wurzel 1,21| = 1,1
--> Betrag der Wurzel kleiner als x, wenn x größer als 1
3.) x < 1 (Bsp. x = 0,25)
Wurzel 0,25 = ± 0,5
|Wurzel 0,25| = 0,5
0,5 > 0,25
--> Betrag der Wurzel größer als x, wenn x kleiner als 1 und ungleich null
Anders formuliert:
Die Aussage trifft nicht zu für die Menge aller Zahlen
0 < x < 1
Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Liebe Grüße 🙂
Begründung: Die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit einer anderen Zahl mit dem Betrag kleiner 1 verkleinert stets die erste Zahl. Zum Beispiel 0,1*10=1 oder 0,2*50=10
Beispiel aus der Prozentrechnung, bei dem wir nur mit Zahlen kleiner 1 rechnen:
50% = 0,5
Die Hälfte von 50% sind 25%. Rechnerisch erhält man die Hälfte durch Multiplikation mit 0,5.
0,5 * 0,5 = 0,5^2 = 0,25
Hier siehst du, wie es dazu kommt, dass Zahlen mit Betrag zwischen 0 und 1 beim Quadrieren kleiner werden, dh umgekehrt beim Wurzelziehen betraglich größer.
oder?
Gegenbeispiel
wurzel(0,4)
Nein, stimmt nicht.
2^Wurzel von 0,5 = circa 0.7
Stimmt nur für Zahlen >1.