Das Produkt zweier rationalen Zahlen ist rational?
Das Produkt zweier rationalen Zahlen ist rational. Das soll ich beweisen. das ist keine Hausaufgabe. Ich bin nur voll verzweifelt, weil wir über das thema ne arbeit schreiben und ich das nicht raff;( bitte helft mir, meine fklassenkameraden, die mit nachschreiben checken das auch nicht:( Ich bin verloren danke für antworten
3 Antworten
Stimmt das überhaupt? Ich mein, wenn ich 2/4 und 4/2 multipliziere, ist das Produkt nicht rational, sondern ganz....
Nun ist eine ganze Zahl automatisch eine rationale Zahl. In deinem Beispiel:
2/4 * 4/2 = 1 = 1/1. Ich kann jede ganze Zahl als Bruch darstellen.
Weiter noch hast du selbst bereits eine ganze Zahl als Bruch darsgestellt, denn 4/2 ist ja nichts weiter als 2.
Seien a,b,c,d ganze Zahlen, b und d ungleich Null. Dann sind a/b und c/d offensichtlich rationale Zahlen. Nun multipliziert man die beiden miteinander und nach der altbekannten Regel "Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner" kommt man auf das Ergebnis (a * c)/(b * d). Nun sind die ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation abgeschlossen, d.h. eine ganze Zahl mal eine ganze Zahl ist wieder eine ganze Zahl.
=> a * c und b * d sind ganze Zahlen. => (a * c)/(b * d) ist eine rationale Zahl.
Danke für das Lob =)
Du hast Recht, das mit dem Produkt von b und d hätte man dazuschreiben sollen...
Eine Rationale Zahl lässt sich immer auch als Bruch (Quotient) zweier "Ganzer" Zahlen darstellen.
zB ist 0,25 eine rationale Zahl, weil es sich durch 1/4 darstellen lässt.
Wenn man nun zwei rationale Zahlen multipliziert, ist das in etwa so, als würde man zwei Brüche multiplizieren. Bei der Multiplikation von zwei Brüchen entsteht ein neuer Bruch. Da das Ergebnis ein Bruch ist, kann man davon ausgehen, dass das Ergebnis rational ist.
Gute Antwort Melvissimo. So sieht ein Beweis aus :)
Man sollte nur noch erwähnen, das b und d ganzrationale Zahlen ungleich Null sind und somit auch ihr Produkt eine ganzrationale Zahl ungleich Null ergibt.
Gruß Mokinid