Bogenmaß - zwei Winkel?
ich habe eine frage zu der Tabelle im Bild.
Da steht z.b. für tan(1) = pi/4 = 5pi/4
kann mir einer erklären wieso z.b tan(1) zwei winkel hat?
2 Antworten
Anders herum: Es gibt zwei Winkel, die den gleichen Tangens haben.
Da steht keineswegs tan(1) = π/4 = 5π/4
(was schon an sich nicht sein kann, denn π/4 ≠ 5π/4), sondern:
tan(x) = 1 ⇒ x = π/4 oder x = 5π/4
ich merke gerade, es ist nicht egal welchen winkel ich nehme. es kommt darauf an, in welchen quartal ich mich befinde. ich habe mir folgende "Formel" notiert:
α = arctan(y/x) für x>0 und y beliebig
α = arctan(y/x) + π für x<0 und y>0
α = arctan(y/x) - π für x<0 und y<0
so würde ich immer den richtigen winkel bestimmen oder?
Du meinst wahrscheinlich die Qudranten (des Koordinatensystems), wenn du von Quartalen schreibst.
Ich komme auf eine teilweise andere Regel zur Umwandlung von von x + i y in die Polarkoordianten-Schreibweise:
- I. Quadrant (x, y ≥ 0):
- 0 ≤ arctan(y/x) < π/2 und 0 ≤ α < π/2 ,
- also α = arctan(y/x)
- II. Quadrant (x < 0, y ≥ 0):
- π/2 < arctan(y/x) ≤ 0 und π/2 < α ≤ π ,
- also α = arctan(y/x) + π
- III. Quadrant (x < 0, y < 0):
- 0 ≤ arctan(y/x) < π/2 und π ≤ α < 3π/2 ,
- also α = arctan(y/x) + π
- IV. Quadrant (x > 0, y < 0):
- -π/2 < arctan(y/x) ≤ 0 und 3π/2 < α ≤ 2π ,
- also α = arctan(y/x) +2π
Beachte, dass für x = 0 der Bruch y/x nicht existiert und α so nicht bestimmt werden kann. In dem Fall ist
- α = π/2 für y > 0 und
- α = -π/2 für y < 0 .
Umgekehrt: es gibt mehrere Winkel, für die der Tangens 1 wird:
tan(π/4) = tan(5 π/4) = 1
Das haben periodische Funktionen nun mal so an sich.
Es ist nicht ganz so einfach, Umkehrfunktionen zu definieren, weil man da ziemlich willkürlich einen Teil des Wertebereichs der Umkehrfunktion, also des Definitionsbereiches der Ausgangsfunktion, herausnehmen muss.
ist es dann egal welchen winkel ich nehme?
wenn ich z.b. polarkordinaten von 1+i bestimmen möchte, dann wäre es
wurzel(2)e^(iα)
α=arctan(1)=π/4 oder 5π/4
ist es egal ob ich für den winkel π/4 oder 5π/4 nehme?