Beweise/Wiederlegungen im diskreten Wahrscheinlichkeitsraum?

Hallo. Wie löse ich diese Aufgaben?

 seien (Ω,A,P) ein (diskreter) Wahrscheinlichkeitsraum und A,B,C ⊂ Ω Ereignisse. Beweisen oder widerlegen Sie:

Answer 1

[ReimundAcker]

(b)

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) ≥ P(A) + P(B) – 1 [ wg. P(AB) ≥ 1 ] $=1-P\left(\overline{A}\right)+1-P\left(\overline{B}\right)-1=1-\left(P\left(\overline{A}\right)+P\left(\overline{B}\right)\right).$

(c)

P(AB) = P(A) + P(B) – P(A∪B) ≥ P(A) + P(B) – 1 [ wg. P(A∪B) ≥ 1 ] $=1-P\left(\overline{A}\right)+1-P\left(\overline{B}\right)-1=1-\left(P\left(\overline{A}\right)+P\left(\overline{B}\right)\right).$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – LMU München, Dipl. Math., eigene Recherche

Answer 2

[ReimundAcker]

(a)

A∪B∪C = { x∈Ω | x ist Element von genau 1, genau 2 oder genau 3 der A, B, C}. Also:
[1] A∪B∪C = A\(B∪C) + B\(A∪C) + C\(A∪B) + AB\C + BC\A + AC\B + ABC = $=A\overline{B}\ \overline{C}+\overline{A}B\overline{C}+\overline{A}\ \overline{B}C+AB\overline{C}+\overline{A}BC+A\overline{B}C+ABC.$ $\left[2\right]\ \ \ A=A\Omega=A\left(B+\overline{B}\right)=A\left(B\Omega+\overline{B}\Omega\right)=A\left(B\left(C+\overline{C}\right)+\overline{B}\left(C+\overline{C}\right)\right)=$ $=A\left(BC+B\overline{C}+\overline{B}C+\overline{B}\ \overline{C}\right)=ABC+AB\overline{C}+A\overline{B}C+A\overline{B}\ \overline{C}.$

Ebenso $\left[3\right]\ \ \ B=ABC+AB\overline{C}+\overline{A}BC+\overline{A}B\overline{C}$ und $\left[4\right]\ \ \ C=ABC+A\overline{B}C+\overline{A}BC+\overline{A}\ \overline{B}C.$

Ferner gilt $\left[5\right]\ \ \ ABC+AB\overline{C}=AB$ $\left[6\right]\ \ \ ABC+\overline{A}BC=BC\ \ \ und$ $\left[7\right]\ \ \ ABC+A\overline{B}C=AC.$

Aus [1], [2], [3] und [4] folgt $P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cup B\cup C\right)=2P\left(ABC\right)+P\left(AB\overline{C}\right)+P\left(\overline{A}BC\right)+P\left(A\overline{B}C\right)$ und wegen [5], [6], [7] $=P\left(AB\right)+P\left(AC\right)+P\left(BC\right)-P\left(ABC\right).$

Durch Umstellen der Gleichung folgt daraus die Behauptung.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – LMU München, Dipl. Math., eigene Recherche