Beweisen Sie, dass f einen eindeutigen Fixpunkt besitzt?
Huhu, Ich bräuchte bei folgender Aufgabe mal eure Hilfe. Ich bin bei Beweisen leider immer total aufgeschmissen und weiß gar nicht, wo ich anfangen soll. Muss ich hierfür denn Banachschen Fixpunktsatz verwenden? Wäre über jede Hilfe dankbar :)
(Mir bringen Antworten wie „wo ist denn da das Problem“ leider nicht viel. Das Problem ist, dass ich gar nicht erst weiß wie ist starten soll)
2 Antworten
Selbstverständlich kannst du hier Anleihen beim Banachschen Fixpunktsatz bzw. dessen Beweis machen, hier ein Ansatz:
Die Iteration x(k+1) = f^n(x(k)) konvergiert für jeden Startwert x(0) zum eindeutigen Fixpunkt z von f^n.
Also geht das auch für alle n Startwerte x(0), f(x(0)), f^2(x(0)), .... f^(n-1)(x(0)).
Die Vereinigung der aus diesen Startwerten entstandenen Folgen ist gerade die Folge x(0), f(x(0)), f^2(x(0)), .... f^(n-1)(x(0)), f^(n)(x(0)), .....
Diese muss nun auch gegen z konvergieren, das geht einfach mit dem epsilon-Kriterium.
z ist also der gesuchte Fixpunkt.
Meiner Meinung nach sind die Voraussetzungen zur Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt: vollständiger metrischer Raum; f^n ist Kontraktion…
Das ist schon klar, man muss aber f nur endlich oft (n mal) auf einen beliebigen Startpunkt x anwenden - bei weiterer Anwendung kontrahiert das Ganze dann, und man kann den Fixpunktsatz anwenden - ich muss mir nur nochmal überlegen, wie man die abgeschlossene Menge M_x mit f: M_x -> M_x wählt, in der ein anfangs liegender Startpunkt x liegen soll und innerhalb der f dann gegen den Fixpunkt konvergiert. Vermutlich ist M_x ein r-Ball um x mit einem zu bestimmenden Radius r…
Es geht um f ......