Beweis kgV (a,b) = ab, wenn ggT (a,b) = 1?
Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV (a,b) zweier von Null verschiedener ganzer Zahlen a, b ∈ ℕ ist die kleinste natürliche Zahl m ∈ ℕ, so dass a|m und b|m. Zeigen Sie, dass kgV (a,b) = ab wenn ggT (a,b) = 1
Das hat unser Übungsleiter als Beweis an die Tafel geschrieben. Ich bin ehrlich gesagt kaum mitgekommen und verstehe nichts wie Nachbars Lumpi. Wo ist hier gezeigt, dass ggT (a,b) = 1, bzw. wie zeigt man das generell?
2 Antworten
kgV (12, 24) = 2³ • 3
… der Faktor 2 ist falsch auf- oder abgeschrieben und wäre an dieser Stelle sinnfrei.
Rein logisch sind zwei Zahlen mit ggT (a, b) = 1 Primzahlen. Da sie keine weiteren gemeinsamem Teiler haben, sind deren gemeinsame Vielfache immer nur Vielfache beider Zahlen, also gilt für sie: kgV (a, b) = ab.
Wenn das Mathematikerlatein in Deiner Frage das aussagt, ist das tatsächlich der Beweis. Das allerdings herauszufinden, übersteigt mein Wissen.
Danke.
Schreib wenigstens GgT am Satzanfang. Mit großem G sieht’s schon seltsam aus, aber das kleine T ist falsch, es ist ein großer Teiler.
Nun, als Trost: Diese beiden Zahlen sind relativ zueinander prim (;
Es muss hier nicht gezeigt werden, dass ggT(a,b) = 1 ist; das ist die Annahme (auch Voraussetzung genannt).
Die Aussage lautet doch: Wenn ggT(a,b) = 1 ist, dann ist kgV(a,b) = ab. und um das zu beweisen, brauchen wir nur Fälle zu betrachten, in denen ggT(a,b) = 1 gilt, denn in allen anderen Fällen gilt die Aussage trivialerweise.
Nein. Ggt(8,15) = 1 beides keine Primzahlen.
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