Bestimmen sie den Inhalt der Fläche, die die beiden Wendetangenten mit der x-Achse einschließen. Nächste?
Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x)= 1/24 x^4 - x^2 + 10/3
Bestimmen sie den Inhalt der Fläche, die die beiden Wendetangenten mit der x-Achse einschließen. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise mithilfe einer geeigneten Skizze.
Ich weiß gaaarnicht wie ich diese Aufgabe rechnen soll. Könnte mir da jemand helfen, bitte?
1 Antwort
Wendetangenten sind Tangenten, die an die Wendepunkte angelegt werden.
Das bedeutet, du musst erst mal die Wendepunkte bestimmen.
Dazu leitest du die Funktion f(x) drei mal ab.
Danach setzt du die zweite Ableitung gleich Null und berechnest die Nullstellen der zweiten Ableitung.
Danach setzt du diese Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein; ist der jeweilige Funktionswert der dritten Ableitung an der jeweiligen Nullstelle der zweiten Ableitung ungleich Null, dann liegt eine Wendestelle vor.
Hast du die Wendestellen ermittelt, dann setzt du die x-Werte der Wendestellen in die Originalfunktion f(x) ein, um die y-Werte zu den x-Werten zu erhalten, also um die Wendepunkte zu vervollständigen.
Danach benutzt du die Tangentengleichung :
t(x) = f´(x_w) * (x - x_w) + f(x_w)
(Wobei x_w eine jeweilige Wendestelle ist.)
Setzt dort die Werte ein und multiplizierst das aus, um die Tangenten an den Wendepunkten zu erhalten.
Denke daran, dass, wenn du mehrere Wendepunkte hast, du auch mehrere verschiedene Wendetangenten hast.
Am Schluss berechnest du den Flächeninhalt den die Wendetangenten mit der x-Achse einschließen.
Hier kannst du entweder den Flächeninhalt entweder über das entstehende Dreieck oder mittels Integralrechnung bestimmen.