Berechnung des Rimanschen Krümmungstensor?

Hilfe!

Ich komme nicht mehr weiter und ja ich weiß das die Relativitätstheorie als schwieriges Thema angesehen wird aber hilft mit bitte wenn ihr könnt.

Also ich will den Riemanschen Krümmungstensor für r=s=1 , j=0 k=1 und i=0 berechnen.

Ich gebe euch mal alles was ihr braucht

Nächst Seite:

So jetzt hab ihr die Christoffelsymbole und müsst ja nur noch den Tensor berechnen(?)

Und das ist hier der Rechenweg.

(Achtet nicht auf die Nebenrechnungen oder was ich dort hingeschrieben habe.)

Aber ich verstehe nicht wie die da auf das Ergebniss kamen also auf:

Das was mit dem Bleistift eingereiht ist.

Comments

[RitterToby08]

Mir ist nicht ganz klar, was deine genaue Frage ist. Wie man von den Christoffelsymbolen auf die Tensoren kommt oder wie sie auf das Umkreiste im letzten Bild kommen?

[Emanuelli490]

Das letzte. Also wie die auf das eingekreiste kommen.

Wäre wirklich sehr nett wenn du mir hilfst

Answer 1

[RitterToby08]

Ich schreibe nun etwas ausführlicher, da ich dein genaues Vorwissen nicht kenne. Unter dem Tangentialraum T_p(M) verschiede ich den Vektorraum bestehend aus Derivationen

$C^{\infty}\left(M\right)\rightarrow\mathbb{R}$ Das Tangentialbündel TM ist die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume also:

$TM:=\coprod_{p\in M}^{ }T_pM$ Ein Vektorfeld X ist eine glatte Abbildung M-->TM mit X(p) in T_p(M). Die Menge aller Vektorfelder bezeichne ich mit:

$\Gamma\left(TM\right)$ Das was hier als kovariante Ableitung bezeichnet wird, ist auch bekannt als Levi-Civita-Zusammenhang. Und dieser ist (wie der Name vermuten lässt) ein Zusammenhang. Hier ist das eine Abbildung

$\nabla:\Gamma\left(TM\right)\times\Gamma\left(TM\right)\rightarrow\Gamma\left(TM\right)$ mit gewissen Eigenschaften. Eine davon ist die Leibniz-Regel (entspricht der Produktregel bei der gewöhnlichen Ableitung):

$\forall X,Y\in\Gamma\left(TM\right),\ f\in C^{\infty}\left(M\right):\ \nabla_X\left(fY\right)=X\left(f\right)Y+f\nabla_XY$ Nun zu deiner eigentlichen Frage. In deinem Fall ist:

$X=\partial_r=Y,\ f=\frac{\mu h\left(r\right)}{r^2}$ Mit der Leibnizregel folgt:

$\nabla_{\partial_r}\left(\frac{\mu h\left(r\right)}{r^2}\partial_r\right)=\partial_r\left(\frac{\mu h\left(r\right)}{r^2}\right)\partial_r+\frac{\mu h\left(r\right)}{r^2}\nabla_{\partial_r}\partial_r$ Nun müssen wir verwenden, dass gilt:

$\nabla_{\partial_r}\partial_r=-\frac{\mu}{h\left(r\right)r^2}\partial_r$

und, dass ∂_r hier einfach die partielle Ableitung nach r darstellt. Das kannst du dir je nach Definition relativ schnell überlegen. Wir berechnen:

$\partial_r\left(\frac{\mu h\left(r\right)}{r^2}\right)=-\frac{2\mu\left(r-3\mu\ \right)}{r^4}=\frac{6\mu^{2\ }}{r^2}-\frac{2\mu}{r^3}$ Zusammenfügen liefert nun das Ergebnis im Bild und insbesondere das Umkreiste.

Comments

[Emanuelli490]

Oh mann wirklich vielen Dank!!

Sehr schön erklärt. Ich glaube ich kann jetzt wieder beruhigt schlafen!

[Emanuelli490]

@Emanuelli490

Es ist ja doch recht einfach ich glaube irgendwann würde ich selbst drauf kommen. Zum Glück musste ich nicht so lange warten

[RitterToby08]

@Emanuelli490

Das einzige, was man braucht ist die Leibnizregel. Aber das kann man schon übersehen. Im Buch wurden ja mehrere Schritte übersprungen.