Begrenzte e-Funktionen: wie geht diese Aufgabe?

Mein Problem hier wären die Aufgaben c) und d). Bei c) bekomme ich ein falsches Ergebnis raus und bei d) bin ich mir nicht sicher, was mit "konstanten Fluss" gemeint ist.

Danke für alle Antworten im Vorraus! :)

Answer 1

[Sapiens1337]

Die Funktion W mit Zehnerpotenzen umgeschrieben

$W\left(t\right)=10^6\cdot\left(1-e^{-0,025t}\right)$

c) Ansatz $W\left(t\right)=1,2\cdot10^6$

dafür die Funktion W(t) nach t umformen (Division durch 10^6)

$\frac{W\left(t\right)}{10^6}=1-e^{-0,025t}$

als nächsten Schritt mit -1 subtrahieren

$\frac{W\left(t\right)}{10^6}-1=-e^{-0,025t}$

Multiplikation mit (-1) oder Division durch (-1)

$-\frac{W\left(t\right)}{10^6}+1=e^{-0,025t}$

Logarithmieren mit dem Logarithmus naturalis (ln)

$\ln\left(-\frac{W\left(t\right)}{10^6}+1\right)=-0,025t$

an dieser Stelle können wir aufhören und für W(t) = 1,2*10^6 einsetzen

$\ln\left(-\frac{1,2\cdot10^6}{10^6}+1\right)=\ln\left(-1,2+1\right)$

Der ln ist für negative Zahlen wenn x Element der reellen Zahlen ℝ ist, nicht definiert. Wir können uns also die restliche Umformung ersparen und damit auf die erste Frage antworten:

Nein, dieses Volumen kann nicht vollständig gefüllt werden.

Für die andere Frage wählen wir den Ansatz

$W\left(t\right)=\frac{1,2\cdot10^6}{2}=6\cdot10^5$

Machen wir dort weiter, wo wir bei der ersten Teilfrage aufgehört hatten, nämlich bei

$\ln\left(-\frac{W\left(t\right)}{10^6}+1\right)=-0,025t$

Division durch (-0,025)

$-\frac{\ln\left(-\frac{W\left(t\right)}{10^6}+1\right)}{0,025}=t$ $t=-\frac{\ln\left(-\frac{6\cdot10^5}{10^6}+1\right)}{0,025}=36,652$

unsere Antwort lautet hierfür also:

Nach ca. 36,652 h ist er zur Hälfte gefüllt.

d) Ansatz

$W'\left(20\right)$ $W'\left(t\right)=2,5\cdot10^4\cdot e^{-0,025t}$ $W'\left(20\right)=2,5\cdot10^4\cdot e^{-0,025\cdot20}=15163,27$

unsere Teilantwort lautet damit:

Mit einer Geschwindigkeit von etwa 15163,27 m³/h

Für den konstanten Zufluss folgender Lösungsvorschlag

$\int W\left(t\right)dt$

mit den Integrationsgrenzen 0 (untere) und 20 (obere)

$\int_{_0}^{^{20}}W\left(t\right)dt=\left[10^6\cdot\left(40e^{-0,025t}+t\right)\right]_0^{^{20}}=4,26\cdot10^6$

und hier lautet unsere Teilantwort:

Der konstante Zufluss beträgt ca. 4,26*10^6 m³*t

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Physik (Vollfach / Bachelor)

Comments

[Sapiens1337]

Bei c) hätte man auch das Problem der ersten Teilfrage so lösen können, dass man sich den lim für x->unendlich bei W(t) anguckt. Dann hätte man schon sofort sagen können, dass 1,2*10^6 nicht möglich wären.

[fjf100]

@Sapiens1337

Dir is´n Fehler unterlaufen W(t)/2=0,5 Millionen m³

0,5=1 Mill m³*(1-e^(-0,025*t) mit t → unendlich W(unend.)=1 Million*1=Fassungsvermögen des Sees

0,5=1-e^(-0,025*t)

e^(..)=1-0,5=0,5 logarithmiert

-0,025*t=ln(0,5)

t=ln(0,5)/(-0,025)=27,72 Std

Probe: W(27,..)=1 Million m³*(1-e^(-0,025*27,72 Std)=1 Mill m³*0,5=0,5 Mill. m³

[Sapiens1337]

@fjf100

Oh ja, ich habe die Hälfte von 1,2*10^6 ermittelt. Die Ersteller der Aufgabe meinten aber die Hälfte von 10^6, du hast recht xD

[fjf100]

@Sapiens1337

Ich dachte schon,du wärst Jesus, allwissend und absolut fehlerlos

[fjf100]

@Sapiens1337

Ich glaub,du hast recht,weil bei c) das Leervolumen von 1,2 Millionen m³ gemeint ist.

1,2 Millionen m³ /2=0,6 Millionen m³

0,6=1Million m³*(11-e^(-0,025*t)

0,6=1-e^(-0,025*t)

e^(-0,025*t)=1-0,6=0,4

-0,025*t=ln(0,4)

t=ln(0,4)/(-0,025)=36,65..Std.

[Sapiens1337]

@fjf100

hahaha xD

[Sapiens1337]

@fjf100

hm...

Answer 2

[fjf100]

W(t)/2=0,5 Millionen m³

0,5 Mill m³=1 Mill m³*(1-e^(-0,025*t)

0,5=1-e^(-0,025*t)

e^(-0,025*t)=1-0,5=0,5 logrithmiert

-0,025*t=ln(0,5)

t=ln(0,5)/(-0,025)=27,72..Std

Hinweis:Wegen e^(-0,025*t) können die 1 Millionen m³ nicht erreicht werden,weil wegen e^(-0,025*t) mit t→ unendlich der Ausdruck unendlich klein wird,aber nicht zu NULL

W(1000 )=1 Mill m³*(1-e^(-0,025*1000)=1 Million m³

d) Volumenstrom=Zufluß pro Zeiteinheit

durchschnittlicher Volumenstrom im Zeitintervall (t2-t1) (V)=(W(t2)-W(t1))/(t2-t1)

geht nun das Zeitintervall (t2-t1) gegen NULL,so erhält man den

Momentanen Volumenstrom (V)(t)=dw/dt=W´(t) ist die 1.te Ableitung

W(t)=1 Mill m³*(1-e^(-0,025*t)=1-e^(-0,025*t) hat die Form f(x)=f1(x)-f2(x)

nun ableiten siehe Mathe-Formelbuch,Differentialrechnung,Differentationsregeln,elementare Ableitungen

f1(t)=1*t⁰ abgeleitet f´1(t)=0

f2(t)=e^(-0,025*t) nach der

Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung

Substitution (ersetzen) z=-0,025*t abgeleitet z´=dz/dt=-0,025

f(z)=e^z abgeleitet f´(z)=e^z siehe elementare Ableitungen f(x)=e^x ergibt f´(x)=e^x

f´2(t)=z´*f´(z)=-0,025*e^(-0,025*t)

W´(t)=0-(-0,025)*e^(-0,025*t)=0,025*e^(-0,025*t)

Volumenstrom (m³/Std.) ist somit (V)(20)=0,025*e^⁽-0,025*20)=0,15 Mill m³/Std

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Comments

[hannah1804]

Wieso kommt bei dir bei c) 1-0,5 und nicht anders herum raus

[Sapiens1337]

@hannah1804

Du musst bedenken, dass vor dem e ein negatives Vorzeichen steht. Multipliziert man auf beiden Seiten mit (-1) oder dividiert durch (-1) dann steht da tatsächlich 1-0,5

[fjf100]

@hannah1804

Ich habe hier einen Fehler gemacht.Das Leervolumen soll 1,2 Millionen m³/2 sein

sind dann 0,6 Millionen m³

W(t)=0,6 Millionen m³=1 Million m³*(1-e^(-0,025*t))

0,6/1=1-e^(-0,025*t) auf beiden Seiten +e^(-0,025*t) (+e^(-0,025*t)-e^(-0,025*t)=0)

e^(0,025*t)+0,6=1 auf beiden Seiten -0,6 (+0,6-0,6)

e^⁽-0,025*t)=1-0,6=0,4 logarithmiert

-0,025*t=ln(0,4)

t=ln(0,4)/(-0,025)=36,65.. Std.

Hinweis: bei c) ist das "Leervolumen" mit 1,2 Millionen m³ Wasser gemeint

Mit der Formel W(t)=1 Million*(1-e^(-0,025*t) sind aber nur mit t → unendlich

W(unendlich)=1 Million m³*/1-0)=1 Million m³ möglich

Meine Rechnung ist somit falsch.