BedingteWarscheinlichkeiten?

Aufgabe:

1% der Bevölkerung leidet unter einer Stoffwechselstörung. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Krankheit durch einen Labortest erkannt wird bei jemandem der diese Stoffwechselstörung hat, beträgt 86%. Bei 10% der Gesunden zeigt der Test fälschlicherweise ein positives Testergebnis an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person auch wirklich an dieser Krankheit leidet?

ich schaffe es nicht eine passende Vierfeldertafel aufzuschreiben. Kann mir jemand helfen?

K:= krank. p:= positives Test Ergebnis

G:= gesund n:= negatives Testergebnis

Answer 1

[pchem]

Eine Person ist entweder krank K oder gesund G und entweder zeigt der Test ein positives Ergebnis P an oder ein negatives Ergebnis N. Hier sind die entsprechenden Baumdiagramme:

Was ist gegeben?

1% der Bevölkerung leidet unter einer Stoffwechselstörung.

P(K) = 0.01

P(G) = 0.99

Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Krankheit durch einen Labortest erkannt wird bei jemandem der diese Stoffwechselstörung hat, beträgt 86%.

P(P|K) = 0.86

Bei 10% der Gesunden zeigt der Test fälschlicherweise ein positives Testergebnis an.

P(P|G) = 0.10

Damit kann man anfangen die Vier-Felder-Tafel zu füllen:

Mithilfe des Baumdiagrammes u. der Pfadregel können wir auch P(P∩K) und P(P∩G) ermitteln:

$P\left(P∩G\right)=P\left(G\right)\cdot P\left(P|G\right)=0.99\cdot0.10=0.099$ $P(P∩K)=P(K)\cdot P(P|K)=0.01\cdot0.86=0.0086$

Damit können wir die Tafel vervollständigen:

Was ist nun gesucht?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person auch wirklich an dieser Krankheit leidet?

P(K|P), also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist, unter der Bedingung, dass diese positiv getestet wurde. Wir wissen aus dem rechten Baumdiagramm (Pfadregel):

P(K∩P) = P(P) ⋅ P(K|P)

Aus dem linken Baumdiagramm wissen wir:

P(K∩P) = P(K) ⋅ P(P|K)

Wir setzen gleich und gelangen zum Satz von Bayes:

P(P) ⋅ P(K|P) = P(K) ⋅ P(P|K)

Umstellen:

$P\left(K∣P\right)=\frac{P\left(K\right)}{P\left(P\right)}\cdot P\left(P∣K\right)$ P(K) und P(P|K) sind bekannt, P(P) können wir aus der Vier-Felder-Tafel entnehmen, damit kann P(K|P) berechnet werden:

P(K|P) = (0.01 ÷ 0.1076) ⋅ 0.86 ≈ 0.08 = 8%

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Chemiestudium

Comments

[Matheeee01379]

Vielen Dank! Jetzt verstehe ich es.

Answer 2

[GuteAntwort2021]

Hallo.

• krank und positiv -> 0,01 * 0,86 = 0,0086
• krank und negativ -> 0,01 * 0,14 = 0,0014
• gesund und positiv -> 0,99 * 0,1 = 0,099
• gesund und negativ -> 0,99 * 0,9 = 0,891

Das ergibt folgende Tabelle:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person tatsächlich an der Krankheit leidet?

0,0086 / 0,1076 ~ 0,07993

Also ca 8%.

LG

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Comments

[Matheeee01379]

vielen herzlichen Dank ☺️