[Aussagenlogik] Bedeute ein negierter Allquantor "Nicht für alle x..." oder "für kein x..."?
Das ist mir nicht klar
5 Antworten
Die Negation eines Allquantors bedeutet informal: "Nicht für alle x"
Die Negation eines Existenzquantors bedeutet informal: "Für kein x"
Nebenbei: Das ist streng genommen nicht Aussagenlogik, sondern Prädikatenlogik. Quantoren lassen sich in der Sprache der Aussagenlogik nicht direkt anwenden.
Weil sich Quantoren immer auf die Elemente einer Aussage beziehen.
Bsp.:
- ∀x [P(x)] (der Quantor bezieht sich nur auf den Nominator "x")
- ∀X [X(a)] (der Quantor bezieht sich nur auf den Prädikator "X")
- ∀p [p] (der Quantor bezieht sich auf die gesamte Aussage, lässt sich aber nicht deuten; daher ist die Aussage sinnlos)
Du musst also jeden Ausdruck in der Sprache der Aussagenlogik in die Sprache der Prädikatenlogik übersetzen, bevor Du einen Quantor hinzufügen kannst. Ansonsten ist der Ausdruck nicht erfassbar bzw. sinnlos.
A: Allquantor, E: Existenzquantor
negierter Allquantor:
neg Ax: Aussage = neg (Ax: Aussage) = Ex: neg Aussage = es ist ein x für den nicht Aussage = nicht für alle x: Aussage
hingegen negierte Aussage:
Ax: neg Aussage = neg Ex: Aussage = es gibt kein X: Aussage = für alle x = neg. Aussage
Das erstere.
Die Negation des Allquantors bedeutet (umgangssprachlich und etwas präziser ausgedrückt):
Es gibt mindestens ein x, für das die ursprüngliche Aussage falsch ist.
Wenn etwas für alle x gilt, so ist die korrekte Negation: Es gibt mindestens ein x, für das es nicht gilt.
Es bedeutet: Nicht alle x
Kein x (Nullexistenz) = negierter Existenzquantor
Danke für die klare Antwort. Ich habe etwas Mühe, Deine Zusatzbemerkung zu verstehen. Wieso gibt es in der Aussagenlogik keine Quentoren?