Anderer Rechenweg für die quadratische Ergänzung
Hey liebe Gutefrage Community.
Habe damals, als ich noch die quadratischen Funktionen hatte, nie die quadratische Ergänzung kapiert. Kann mich noch erinnern das es doch noch irgendwie anders ging, komme aber leider nicht mehr drauf. Da ich jetzt allerdings diese zur Nachhilfe wieder brauche wird es schwierig.
Hoffe ihr könnt mir helfen, vielen Dank im Vorraus
liebe Grüße, Lenuka
4 Antworten
Du kannst die angegebene Formel natürlich ohne quadratische Herleitung benutzen, aber dann wird es kritisch, wenn jemand fragt, wie du denn darauf kommst
Die angegebene Formel wird im Unterricht normalerweise so hergeleitet, dass du die quadratische Ergänzung "ein für alle Mal" in vollständiger Allgemeinheit mit Variablen durchführst, siehe z.B. Wikipedia-Artikel "Scheitelpunkt", Unterpunkt "Herleitung mittels quadratischer Ergänzung".
Volens weist richtigerweise darauf hin, dass das auch per Ableitung geht; das steht auch im gleichen Wikipedia-Artikel im Unterpunkt "Herleitung mittels Ableitung", gleich dahinter. Aber dazu sind Kenntnisse der Differentialrechnung erforderlich.
Das Additionsverfahren wird zur Auflösung linearer Gleichungssysteme benutzt (mehrere Gleichungen mit mehreren Variablen, die aber keine Exponenten haben, auch kein "hoch zwei"). Das hat weder etwas mit quadratischer Ergänzung noch mit Parabel überhaupt zu tun.
Wie lautet die konkrete Aufgabenstellung deiner Schülerin?
Was meinst du mit x1 und x2?
Sind dies Nullstellen einer quadratischen Funktion? Dann steht die Antwort als pq-Formel bereits bei Volens; als Mitternachtsformel, also anwendbar auf die Gleichung
(y = ) ax² +bx +cx = 0
lautet sie:
x1,2 = ( -b ± √ (b² - 4ac ) ) / (2a)
Problem: Wenn du diese Formel begründen sollst, landest du wieder bei der quadratischen Ergänzung.
Wie das geht, ist im Wikipedia-Artikel >http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung, Unterpunkt "Herleitung der a-b-c-Formel" vorgeführt
Das "anders" ist vermutlich ebenfalls die quadratische Ergänzung, zumindest wenn man die Nullstellen einer Funktion haben will. Aus der normierten, quadratischen Gleichung wird nämlich ein Paar Lösungsformeln gebildet, die man dann verwendet, um eine solche Gleichung zu lösen. Jede Formelsammlung kennt sie. Ich schreibe sie hier auch hin, obwohl der Editor da immer Probleme bereitet. Achte darauf, dass die Gleichung normiert ist (also nichts vor dem x² stehen hat), sonst musst du nämlich erst durch den Faktor von x² dividieren, und zwar die ganze Gleichung. Die beiden folgenden Formeln gehören zusammen:
x² + px + q = 0
x1,2 = -p/2 ±√((p/2)² - q)
Falls du in Österreich wohnst, hast du möglicherweise stattdessen die a,b,c-Gleichung (Mitternachtsformel) gelernt. Wenn das so wäre, müsstest du nochmal "Hilfe!" rufen.
Auch für die Bestimmung des Scheitelpunkts hast du die quadratische Ergänzung verwandt. Die Alternative dazu kommt erst in der Oberstufe. Du leitest die Funktion einmal ab und bekommst die Lösung frei Haus ohne quadr. Ergänzung.
Im Wortsinn ist die Diskriminante (=Entscheidende) nur das, was unter der Wurzel steht. Das gilt für p,q und Mitternacht. Und wenn du die Mitternachtsformel kennst, brauche ich sie nicht hinzuschreiben.
Achtung: auch sie gilt nur im Zusammenhang mit der passenden quadratischen Gleichung!
Was soll denn mit oder ohne quadratische Ergänzung gehen?
Beispielsweise lässt sich eine Parabel
y = ax² +bx +c
mit xs = -b/(2a), ys = c - b²/(4a)
in die Scheitelpunktform
y = a(x - xs)² + ys
überführen.
. . .
Das Problem daran ist allerdings, dass auch diese hübsche Formel letztlich auf quadratischer Ergänzung beruht.
Was ist im Übrigen so schwer an der quadratischen Ergänzung? Diese ist bloß eine Anwendung der zweiten binomischen Formel.
habe ich mir fast gedacht das es die wäre/war. Zumindest tat ich mich bei dieser Form immer leichter.
Vielen Dank für die schnelle Antwort
Nein, die Mitternachtsformel ist nicht die Diskriminante.
Die Diskriminante ist der Radikand der Wurzel in der Mitternachts- oder auch der pq-Formel, also der Termin
- b² - 4ac (Mitternachtsformel) bzw.
- p²/4 - q (pq-Formel)
Das Vorzeichen der Diskriminante entscheidet über die Existenz reeller Nullstellen der jeweiligen Parabel.
Vielen Dank für die Aufklärung. D.h. also ich könnte die die Formel
xs = -b/(2a), ys = c - b²/(4a)
benutzen um nicht die Quadratische Ergänzung zu nutzen? Es tut mir leid falls einige Fragen wirklich dumm sind, allerdings habe ich sehr lange nicht mehr damit gerechnet und wüsste da gerne bescheid. Sagte nur irgendwas von Aditionsverfahren. Zumal das Kind nicht genau weiß was es ausrechnet. Ich gehe davon aus das X1 und X2 bestimmt werden sollen, würde sich da was ändern?
nein, ich wohne in Bayern, haben aber die "Mitternachtsformel" gemacht. Haben sie nur Diskriminante genannt. Aber vielen Dank für die schnelle Antwort.