Äquivalente Termumforumgen?
Das Radizieren und Potenzieren ist ja keine äquivalente Termumformung. Meine Frage ist jetzt, wieso es manchmal trotzdem erlaubt ist, Terme durch Potenzieren/Radizieren aufzulösen (z.B. bei Wurzelfunktionen).
Finde dazu leider auch nichts im Netz. Kennt jemand eine Quelle oder weiß jemand etwas darüber?
1 Antwort
Es ist halt in den meisten Fällen eine Äquivalenzumformung, nur bei negativen Zahlen halt nicht, es kommt halt immer darauf an was potenziert wird. Deshalb ist es manchmal erlaubt und manchmal nicht und deshalb macht man am Ende ja auch die Probe.
Das hier steht außerdem in Wikipedia, das kommt natürlich auch noch dazu:"Potenzieren beider Seiten mit demselben positiven ganzzahligen Exponenten. Das ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Exponent ungerade ist. Bei anderen Exponenten – wie beim Quadrieren – erhält man sogenannte Scheinlösungen, die durch eine Probe ausgeschlossen werden müssen."
Das ist der Link dazu
Im Raum der reellen Zahlen ist das Quadrieren keine Äquivalenzumformung. Das Quadrieren ist eine Funktion, die vom gesamten Raum der reellen Zahlen in den Raum der nichtnegativen reellen Zahlen abbildet. Die Umkehroperation dazu, das Wurzelziehen, ist jedoch nicht eindeutig, denn zu {\displaystyle x^{2}=4} gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, nämlich {\displaystyle x=+2} und {\displaystyle x=-2}. Das Quadrieren auf den gesamten reellen Zahlen hat keine linksseitige Umkehrfunktion.
Wenn man den Zahlenbereich für die beiden Seiten der Gleichung so einschränkt, dass sie entweder {\displaystyle {}\geq 0} oder aber {\displaystyle {}\leq 0} sind, ist das Wurzelziehen auf diesem eingeschränkten Zahlenbereich eindeutig.
Setzt man beispielsweise {\displaystyle x\leq 0} voraus, so sind die Gleichungen {\displaystyle x^{2}=4} und {\displaystyle x=-2} gleichwertig.
Setzt man hingegen {\displaystyle x\geq 0} voraus, so sind die Gleichungen {\displaystyle x^{2}=4} und {\displaystyle x=+2} gleichwertig.
In den beiden obigen Beispielen ist {\displaystyle x} in zwei Rollen unterwegs. Einerseits ist es die einzige Unbekannte in der Gleichung, andererseits ist es die komplette linke Seite der Gleichung. Die Argumentation mit der Umkehrfunktion zielt immer auf die beiden Seiten der Gleichung ab, nicht jedoch auf die Unbekannten.
Ist die Gleichung beispielsweise {\displaystyle (x-5)^{2}=9}, muss der Zahlenbereich so eingeschränkt werden, dass der Term {\displaystyle x-5} entweder immer {\displaystyle {}\geq 0} oder aber immer {\displaystyle {}\leq 0} ist.
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das sagt wikipedia. da ist man auch am anfang im positiven raum
müsste man dann einfach nach jedem quadrieren eine probe machen, da es eben keine äquivalenzumformung ist?