ABLEITUNGEN?
ich wäre unendlich unendlich dankbar wenn mir jemand die zusammenhänge zwischen den ableitungen erklären könnte.. schön mit graphen wenn es nicht zu viel verlangt ist
ich verstehe nur dass die erste ableitung die steigung der ausgangsfnk ist aber weiter sehe ich nicht durch
1 Antwort
Gerne erkläre ich dir die Zusammenhänge zwischen den Ableitungen anhand von Graphen!
### Erste Ableitung \( f'(x) \)
- **Definition:** Die erste Ableitung einer Funktion \( f(x) \) gibt die Steigung der Tangente an der Kurve \( f(x) \) an jedem Punkt \( x \) an.
- **Graph:** Wenn \( f(x) \) eine Kurve ist, dann beschreibt \( f'(x) \) die Steigung dieser Kurve in jedem Punkt.
### Zweite Ableitung \( f''(x) \)
- **Definition:** Die zweite Ableitung einer Funktion \( f(x) \) ist die Ableitung der ersten Ableitung \( f'(x) \). Sie gibt die Änderung der Steigung an, also wie sich die Steigung von \( f(x) \) ändert.
- **Graph:** Wenn \( f(x) \) eine Kurve ist, beschreibt \( f''(x) \), wie "gekrümmt" die Kurve ist. Ein positiver Wert von \( f''(x) \) bedeutet, dass die Kurve nach oben gekrümmt ist (konkav), ein negativer Wert bedeutet, dass die Kurve nach unten gekrümmt ist (konvex).
### Dritte Ableitung \( f'''(x) \)
- **Definition:** Die dritte Ableitung einer Funktion \( f(x) \) ist die Ableitung der zweiten Ableitung \( f''(x) \). Sie gibt die Änderung der Krümmung an.
- **Graph:** Die dritte Ableitung kann genutzt werden, um das Verhalten der Krümmung genauer zu analysieren, insbesondere wie sich die Krümmung ändert.
Um diese Konzepte zu verdeutlichen, werde ich dir ein Beispiel mit einer Funktion und ihren Ableitungen grafisch darstellen.
### Beispiel: Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)
#### Schritt 1: Berechnung der Ableitungen
- \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)
- Erste Ableitung: \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)
- Zweite Ableitung: \( f''(x) = 6x - 6 \)
- Dritte Ableitung: \( f'''(x) = 6 \)
#### Schritt 2: Graphen zeichnen
Ich werde die Graphen der Funktion und ihrer Ableitungen zeichnen.
