3. Wurzel?


14.01.2020, 15:41

Geht das überhaupt mit den komplexen Zahlen?

3 Antworten

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Du müsstest zuerst die 3. Wurzel der negativen (reellen Zahl) als komplexe Zahl mit Imaginärteil 0 betrachten und in die Polardarstellung überführen. Nun schauen wie man aus komplexen Zahlen Wurzeln zieht. Die n. Wurzel einer komplexen Zahl ziehen liefert n Ergebnisse.

cbrt(-a)

= cbrt(-aexp(i•(pi+k•pi)) , k=0,1,...

=(aexp(i•(pi+k•pi)))^(1/3)

k=0 a) =cbrt(a)*exp(i•((pi/3)+(0pi)/3))

k=1 b) =cbrt(a)*exp(i•((pi/3)+pi/3))

k=2 c) =cbrt(a)*exp(i•((pi/3)+(2pi)/3))

Das sind nun die 3 3. Wurzeln der Zahl -a

a) cbrt(a)•exp(i•(pi/3)

b) cbrt(a)•exp(i•(2pi/3))

c) cbrt(a)•exp(i•pi)


valentin1842  14.01.2020, 21:18

a soll eine reelle Zahl sein.

valentin1842  14.01.2020, 22:44
@Khaled706

Sorry, ich habe einen Fehler gemacht,

cbrt(-aexp(i•(pi+k•pi)) , k=0,1,...

lautet eigentlich

cbrt(-aexp(i•(pi+k•2pi)) , k=0,1,..

Somit ergeben sich für die drei Lösungen die Formeln

a) cbrt(a)•exp(i•(pi/3)

b) cbrt(a)•exp(i•pi)

und

c) cbrt(a)•exp(i•(5pi)/3)

Zum Beispiel:

Nehmen wir die dritte Wurzel aus -27.

cbrt(27) kommt in allen Lösungen vor und ist 3. Somit lauten die Lösungen:

a) 3*exp(i*(pi/3))

b) 3*exp(i*pi)

c) 3*exp(i*(5pi)/3)

Alle komplexen Zahlen haben den selben Betrag (3) und unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Argumente (pi/3), (pi) und ((5pi)/3).

Aus der Polardarstellung kann man nun wieder zurück zur kartesischen Darstellung mit

|z|*exp(i*arg(z))=z*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z))

Die dritten Wurzeln von (-27) sind also ungefähr

a) 3*(cos(pi/3)+i*sin(pi/3)) = 3*(0.5+i*0.87) = 1.5+2.6i

b) 3*(cos(pi)+i*sin(pi) = 3*(-1+i*0) = -3

und

c) 3*(cos((5pi)/3)+i*sin((5pi)/3) = 3*(0.5+i*-0.87) = 1.5-2.6i

Trägst du diese 3 Zahlen auf der gaußschen Zahlenebene auf, liegen sie interessanterweise alle auf einem Kreis jeweils maximal voneinander entfernt.

Khaled706 
Beitragsersteller
 21.01.2020, 08:19

Vielen Dank!

Genauso, wie du die dritte Wurzel aus einer positiven Zahl ziehst (wie bereits erwähnt, brauchst du dafür keine komplexen Zahlen). Beispiele:

dritte Wurzel aus 8 = 2 ----> dritte Wurzel aus -8 = -2

dritte Wurzel aus 27 = 3 ----> dritte Wurzel aus -27 = -3

dritte Wurzel aus 74,088 = 4,2 ----> dritte Wurzel aus -74,088 = -4.2

Wenn du also die dritte Wurzel aus einer negativen Zahl berechnen willst, berechnest du die dritte Wurzel aus ihrem positiven Gegenstück und setzt ein Minus davor.


Khaled706 
Beitragsersteller
 14.01.2020, 15:40

Aus negativen Zahlen kann man aber nicht die Wurzel ziehen.

Robert221  14.01.2020, 15:42
@Khaled706

Die Quadratwurzel nicht, aber die dritte Wurzel schon: -2 mal -2 mal -2 = -8

---> dritte Wurzel aus -8 = -2

Eine der 3 Wurzeln ist die reelle Zahl

- 3.Wurzel(|x|)

Die anderen beiden Lösungen haben den gleichen Betrag, aber ein Argument das um 120° größer bzw. kleiner ist als das der ersten Lösung.