3. Wurzel?
Wie kann man die 3. Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen (mit den komplexen Zahlen)?
Geht das überhaupt mit den komplexen Zahlen?
3 Antworten
Du müsstest zuerst die 3. Wurzel der negativen (reellen Zahl) als komplexe Zahl mit Imaginärteil 0 betrachten und in die Polardarstellung überführen. Nun schauen wie man aus komplexen Zahlen Wurzeln zieht. Die n. Wurzel einer komplexen Zahl ziehen liefert n Ergebnisse.
cbrt(-a)
= cbrt(-aexp(i•(pi+k•pi)) , k=0,1,...
=(aexp(i•(pi+k•pi)))^(1/3)
k=0 a) =cbrt(a)*exp(i•((pi/3)+(0pi)/3))
k=1 b) =cbrt(a)*exp(i•((pi/3)+pi/3))
k=2 c) =cbrt(a)*exp(i•((pi/3)+(2pi)/3))
Das sind nun die 3 3. Wurzeln der Zahl -a
a) cbrt(a)•exp(i•(pi/3)
b) cbrt(a)•exp(i•(2pi/3))
c) cbrt(a)•exp(i•pi)
Sorry, ich habe einen Fehler gemacht,
cbrt(-aexp(i•(pi+k•pi)) , k=0,1,...
lautet eigentlich
cbrt(-aexp(i•(pi+k•2pi)) , k=0,1,..
Somit ergeben sich für die drei Lösungen die Formeln
a) cbrt(a)•exp(i•(pi/3)
b) cbrt(a)•exp(i•pi)
und
c) cbrt(a)•exp(i•(5pi)/3)
Zum Beispiel:
Nehmen wir die dritte Wurzel aus -27.
cbrt(27) kommt in allen Lösungen vor und ist 3. Somit lauten die Lösungen:
a) 3*exp(i*(pi/3))
b) 3*exp(i*pi)
c) 3*exp(i*(5pi)/3)
Alle komplexen Zahlen haben den selben Betrag (3) und unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Argumente (pi/3), (pi) und ((5pi)/3).
Aus der Polardarstellung kann man nun wieder zurück zur kartesischen Darstellung mit
|z|*exp(i*arg(z))=z*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z))
Die dritten Wurzeln von (-27) sind also ungefähr
a) 3*(cos(pi/3)+i*sin(pi/3)) = 3*(0.5+i*0.87) = 1.5+2.6i
b) 3*(cos(pi)+i*sin(pi) = 3*(-1+i*0) = -3
und
c) 3*(cos((5pi)/3)+i*sin((5pi)/3) = 3*(0.5+i*-0.87) = 1.5-2.6i
Trägst du diese 3 Zahlen auf der gaußschen Zahlenebene auf, liegen sie interessanterweise alle auf einem Kreis jeweils maximal voneinander entfernt.
Genauso, wie du die dritte Wurzel aus einer positiven Zahl ziehst (wie bereits erwähnt, brauchst du dafür keine komplexen Zahlen). Beispiele:
dritte Wurzel aus 8 = 2 ----> dritte Wurzel aus -8 = -2
dritte Wurzel aus 27 = 3 ----> dritte Wurzel aus -27 = -3
dritte Wurzel aus 74,088 = 4,2 ----> dritte Wurzel aus -74,088 = -4.2
Wenn du also die dritte Wurzel aus einer negativen Zahl berechnen willst, berechnest du die dritte Wurzel aus ihrem positiven Gegenstück und setzt ein Minus davor.
Aus negativen Zahlen kann man aber nicht die Wurzel ziehen.
Die Quadratwurzel nicht, aber die dritte Wurzel schon: -2 mal -2 mal -2 = -8
---> dritte Wurzel aus -8 = -2
Eine der 3 Wurzeln ist die reelle Zahl
- 3.Wurzel(|x|)
Die anderen beiden Lösungen haben den gleichen Betrag, aber ein Argument das um 120° größer bzw. kleiner ist als das der ersten Lösung.
a soll eine reelle Zahl sein.