Ich gebe den Brief an dich ab.

Willst du mit dem Satz sagen, dass du den Brief losschickst, ihn also auf die Post bringst? Da gibt es den Ausdruck "einen Brief aufgeben". Du könntest also sagen "Ich gebe den Brief an dich AUF", aber das ist tatsächlich eher veraltet. In dem Fall würde man einfach sagen: "Ich schicke dir den Brief", "Ich schicke den Brief an dich los" oder "Ich bringe den Brief an dich auf die Post". Und je nachdem, wo man in Deutschland wohnt, heißt es statt "auf die Post" "zur Post" :)