Stellt sich erstmal die Frage, auf wen läuft der Mietvertrag. Läuft er auf euch beide, seit ihr jede für sich gesamtschuldnerisch haftbar, d.h. wenn der eine nicht zahlt, muss der andere die vollen Kosten erstmal übernehmen, kann dann aber den Anteil des anderen von diesem einklagen.
Stehst nur du im Mietvertrag, musst Du auch erstmal alleine zahlen. Wenn es einen Untermietvertrag gegeben hat zwischen Dir und ihm, sollte darin die Frage des Mietzinses und der Nebenkosten geregelt sein. Auch wenn es diesen nur mündlich gab, wäre er gültig. Solltet ihr also Halbe-Halbe ausgemacht haben, muss er auch zahlen. Natürlich kann er, wenn nicht schriftlich festgehalten, das Bestehen eines Untermietvertrages bestreiten.
Was die Renovierungsarbeiten angeht, so kommt es darauf an, was ihr untereinander ausgemacht habt. Wurde hier eine spätere Rückzahlung des hälftigen Betrages vereinbart, so muss er es auch zahlen. Hoffentlich gibt es darüber eine schriftliche Vereinbarung. Mündlich gilt zwar auch, ist aber schwierig nachzuweisen, wenn es keine Zeugen gibt.
Was die Möbel betrifft, so kann er, solltet ihr beide im Kaufvertrag stehen, durchaus den hälftigen Zeitwert verlangen, aber keinesfalls den Neuwert, denn er hat die Möbel ja zwischen Kauf und Auszug mit benutzt und abgewohnt. Wie hoch der Zeitwert ist, müsste demnach durch einen Sachverständigen festgestellt oder zwischen euch einvernehmlich geschätzt werden.
Solltest Du tatsächlich Anspruch auf Mietzahlungen von ihm haben, so stünde dir ggf. ein Pfandrecht an dem Wert der Möbel zu. Du müsstest sie weder herausgeben noch an ihn etwas zahlen.
Wenn Du auch aus der Wohnung ausziehen würdest, wäre für das neue Bad (falls es Fliesen, Armaturen und Geräte wie Waschtisch oder Dusch/Badewanne sind) ggf. eine Abstandszahlung durch den Vermieter zu leisten, da er aus dem Verbleib des neuen Bades einen Vorteil zieht. Eventuelle Ansprüche an Deinen Ex, sollte denn eine Beteiligung vereinbart gewesen sein, wären dann um den Betrag der Abstandszahlung zu mindern.
Am besten gehst du mal zu einem Rechtsanwalt und lässt Dich dort beraten. Er sagt Dir genau, welche Ansprüche du hast und die sollten auch angemahnt und fällig gestellt werden. Ab Fälligkeit kannst Du dann mit 4% p.a. verzinsen, wenn er nicht zahlt und wenn Du gewinnst, sind deine Rechtsanwaltskosten auch von ihm zu tragen. Eine Ausnahme wäre es, wenn ihr einen außergerichtlichen Vergleich schließt, dann muss er deinen RA nicht zahlen, nur bei einem Urteil. Was günstiger ist, wird ein RA dir auch erklären können.