Das geht unter gewissen Umständen und im Rahmen tatsächlich. Es hängt aber davon ab, wie das Jobcenter oder dein Sachbearbeiter die Integrationschancen einschätzt. Da wird berücksichtigt, wie lange du im ALG II-Bezug bist, wie deine bisherige Mitarbeit war, wie deine Maßnahmen-Historie ist (bemüht, keine Abbrüche usw.), welche Vermittlungshemmnisse bestehen (Krankheit, eingeschränkte Mobilität im ÖPNV, Ausbildung etc.), deine Chancen auf dem Arbeitsmarkt und ob das Jobcenter/dein Sachbearbeiter auf den Förderungstopf zurückgreifen kann. Das Jobcenter hat für best. Zielgruppen und Maßnahmen, die im Jahr angeboten werden, Förderungssummen aus dem Vermittlungsbudget eingeplant. Unter Umständen kann darauf noch zugegriffen werden.
Das Stichwort ist also: Förderung aus dem Vermittlungsbudget.
Es wird dir aber nicht einfach so ein PKW deiner Wahl zu einem beliebigen Betrag gesponsert und schon gar nicht ohne triftigen Grund.
Wenn sich eine "Integration in den Arbeitsmarkt" bzw. eine langfristige, sozialversicherungspflichtige Beschäftigung in ausreichender Wochenstundenzahl "anbahnt", kann das Jobcenter fördern, um die Aufnahme dieser Beschäftigung nicht zu gefährden. Dann ist die Frage: brauchst du den PKW, um zur Stelle zu kommen, um dort Botendienste/Materialbesorgungen etc. zu erledigen? Der Betrieb muss meistens ein formloses Schreiben verfassen, in dem die Notwendigkeit eines PKW bestätigt wird. Kann das mit JA beantworten werden und stellst du den Antrag zur richtigen Zeit (der Arbeitsvertrag darf noch nicht geschlossen sein), ist eine Förderung mit bis zu 1.500 € möglich (das mag von JC zu JC höher oder geringer ausfallen).
Du muss dem JC dann drei PKW deiner Wahl vorlegen (nicht Autoscout etc., sondern direkt vom Händler), wobei das günstigste Fahrzeug angeschafft werden kann. Bis zu 1.500 € (je nach JC) werden bezahlt, wobei es möglich ist, dass du einen zusätzlichen Teil selbst beisteuerst.
Es ist auch nicht notwendig, den PKW vorab aus eigener Tasche zu bezahlen. Mit einem entsprechenden Formblatt für den Händler, kann das JC den PKW direkt dort begleichen.
Wie gesagt: geschenkt gibt es nichts. Meist nur im Rahmen einer "drohenden" Beschäftigungsaufnahme. Die Notwendigkeit muss deutlich vorliegen und ob dann genügend Mittel im Fördertopf liegen, du bislang einen guten und "willigen" Eindruck hinterlassen hast und dein Sachbearbeiter die Sinnhaftigkeit sieht - all das ist Grundvoraussetzung.