Wohnen ist ein Grundrecht. Solange du die neue Wohnung nicht beziehen kannst, musst du daher zwangsläufig in der alten Wohnung wohnen bleiben. Das wird deinen jetzigen Vermieter und Nachmieter nicht freuen, aber du kannst ja nichts dafür. Jedenfalls ist es dir nicht zuzumuten, dass du unter der Brücke oder in einem Hotel schlafen musst.
Den neuen MV würde ich keinesfalls ändern lassen. Du hast einen gültigen Mietvertrag und es gibt keinerlei Grund für dich auf irgendetwas zu verzichten, was dir aus diesem Mietvertrag ggf. zusteht. Evtl. muss dein neuer Vermieter für die alte Miete aufkommen.
Wie auch immer...
Es sich schon Leute wegen solchen Geschichten obdachlos geworden.
Lass dich unbedingt von einem Fachanwalt für Mietrecht beraten! Du könntest vielleicht auch den Mieterverein nach Rat fragen.