Wenn man über den Stammtönen mit den Tönen der Durtonleiter Terzen bildet, gibt es 3 große und 4 kleine Terzen, was relativ ausgeglichen ist.
Bei den Quinten sind es 6 "große" (reine) und 1 "kleine" (verminderte) Quinte, das gleiche Verhältnis gibt es bei den Quarten, 6 "kleine" (reine) und 1 "große" (übermäßige).
Das Verhältnis bei den Quarten und Quinten ist also ganz klar eines von Regelfall und Ausnahme. Der Dissonanzgrad dieser Ausnahme (übermäßige Quarte oder verminderte Quinte) ist viel höher als beim Regelfall (reine Quarte oder Quinte), während sich dieser dieser bei großen und kleinen Terzen kaum unterscheidet (beide gelten als imperfekt konsonant, die Schwingungsverhältnisse 4/3 und 5/4 sind auch sehr ähnlich).

C - Fis ist in jedem Fall eine Quarte, weil die Stammtöne C und F sind, also eine übermäßige Quarte. Also keine kleine Quinte, wenn, dann hätte man mutmaßen können, dass es eine "große Quarte" sein könnte, aber aus oben genannten Gründen wird sie als übermäßige Quarte bezeichnet.

Du fängst beim letzten Ton an und schreibst du die Töne der Umkehrung von hinten nach vorne (von rechts nach links) auf, das heißt, wenn du jeden Ton beim Aufschreiben innerlich mitsingst, singst du quasi den Krebs.
Aber am Ende steht sie ja in der richtigen Reihenfolge da, und man liest sie ganz normal von links nach rechts. Das ist dann die Umkehrung, nicht die Umkehrung des Krebs.

In der Theorie ist die Varianttonart von Des-Dur ist Des-Moll.
Sie hat 3 B-Vorzeichen mehr, also dann 8.
Wenn in der Praxis enharmonische Umdeutungen für die leichtere Lesbarkeit vorgenommen werden, ist das ein zweiter Schritt und ändert nichts am Grundprinzip.

Ich habe es gerade mal beim Notationsprogramm Sibelius ausprobiert, was standardmäßig in dem Fall eingestellt ist: der Hals zeigt nach unten.

Ich habe mal versucht, es mit Funktionssymbolen zu chiffrieren, die Frage ist, ob das hilft bei der der Einordnung. Denn der Stil ist ja eher die Pop/Jazz-Richtung.
Die Harmonik ist der sogenannte "Turnaround". Findet sich auch bei "Last Christmas" von Wham, in genau der gleichen Tonart (D-Dur).

Das Tonmaterial aus moderner Sicht wäre äolisch.
Aber in der Zeit, als die gregorianischen Choräle entstanden, wurde Äolisch nicht als eigenständige Tonart gesehen. Demnach wäre es aus historischer Sicht eine Variante von Dorisch. Es war üblich, in D Dorisch den Ton B zu verwenden, in F Lydisch sogar eher die Regel als die Ausnahme.

Die Töne der Melodie von "O Tannenbaum" enthalten einen verminderten Dreiklang:
O Tannenbaum, o Tannebaum, wie grün sind deine Blätter. Also bei "deine Blät-"
Er hört sich an wie ein eher vertrauter Akkord: der Dominantseptakkord.

Der übermäßige Dreiklang klingt etwas mysteriöser, weil er nicht mit Tönen der Dur-Tonleiter gebildet werden kann, also im strengen Sinne kein diatonischer Dreiklang ist.

Hier hat Mahakaruna ein Beispiel für einen Song gepostet, der eindeutig mit einem übermäßigen Dreiklang beginnt.

Für eine rhythmische Analyse würde ich das Original von Schubert nehmen und nicht ein Arrangement, das versucht, ihn für Anfänger spielbar zu machen.
Beim Original gibt es im Klavier schnell repetierte Achteltriolen, die die Gefühlslage des lyrischen Ichs sehr gut ausdrücken.
Und heutzutage ist es ja super leicht, sich das Stück in einer guten Aufnahme anzuhören.

Nein, Tonart bezieht sich auf Dur und Moll, und Dur- und Molltonleitern haben immer Halbtonschritte.
Selbst wenn man den Begriff erweitert und Kirchentonarten mit einbezieht, denn auch alle Kirchentonleitern haben welche.
Eine Ganztonleiter wäre nach Messiaen ein Modus, aber keine Tonart.
Die Pentatonleiter wäre eine weitere Tonleiter ohne Halbtonschritte, aber ebenfalls keine Tonart.

Es startet in D-Dur, moduliert nach und endet in F-Dur.
Es gab hier auf gutefrage.net schon mal eine Diskussion, was in so einem Fall die Tonart des Stücks ist. Die Komponisten moderner Songs haben aber gar nicht mehr das Ziel, die alte tonale/tonikale Form zu wahren, so dass es vielleicht besser ist zu sagen: D-Dur/F-Dur, statt sich auf eine Tonart festzulegen.

Wenn das E und das H um einen Viertelton erniedrigt wären, wäre es der Maqam Rast (arabische Tonleiter).
Man müsste mal alle Maqams durchsuchen, ob deine Skala irgendwo dabei ist, oder vielleicht auch die indischen "Sargams".
Im westlichen Raum gibt es meines Wissens keine konkreten Namen für einzelne Skalen aus 7 Tönen.
Wohl aber für Tonsysteme wie zum Beispiel "31edo" (Teilung der Oktave in 31 gleiche Teile).

Hier eine Grafik, die die Deutung als H7 und E7 veranschaulicht, angefangen mit den beiden Akkorden in ihrer unveränderten Form und Schritt für Schritt die Änderungen hinzugefügt, wie sie bei den Anfangsakkorden der Tristan-Ouvertüre vorkommen.

In der Tonart a-moll ist E7 der Dominant- und H7 der Doppeldominantseptakkord.
Wer nur den Tristan-Akkord für sich anhört, wird niemals auf die Tonart a-moll kommen, die Auflösung ist überraschend. Enharmonisch verwechselt ist der Akkord die Subdominante in es-moll (as-moll mit hinzugefügter Sexte im Bass oder auch F halbvermindert), das wäre die naheliegendere Einordnung nach Gehör. Aber mit dem Kontext davor (Melodie A F E) und danach sowie aufgrund der Vorzeichen ist die Einordnung in a-moll zwingend.

Bei einer einfachen Harmonisierung sollte der Melodieton normalerweise auch ein Ton des Akkordes sein, und es ist möglich, in Dur ausschließlich die 3 Durdreiklänge (Hauptfunktionen, Hauptstufen I, IV und V) zu verwenden. Dadurch gibt es oft nur eine Möglichkeit der Harmonisation eines Tones (z.B. ist der Ton A nur im D-Dur-Dreiklang enthalten, nicht in G-Dur oder C-Dur).

Hier ein konkreter Vorschlag:

Die Melodietöne G und H und D mit dem G-Dur-Dreiklang (Tonika),
die Melodietöne A und Fis mit dem D-Dur-Dreiklang (Dominante),
die Melodietöne C und E mit dem C-Dur-Dreiklang (Subdominante).
Das D und als Dominantseptim auch das C können alternativ auch mit dem D-Dur-Dreiklang harmonisiert werden.

aus https://musikanalyse.net/tutorials/choralsatz/ (hier findet sich zu Beginn eine Tabelle mit der Zuordnung der Töne, aber in der Tonart F-Dur)

Wenn das H mit einem Doppel-B zwei Halbtonschritte erniedrigt wird, heißt der Ton Heses.
Einfach erniedrigt trotzdem immer B, nicht Hes.

Dur- und Molldreiklänge sind sich doch auch akustisch ähnlich, sie unterscheiden sich nur um ein Vorzeichen bei der Terz des Akkordes.
Und bei Septakkorden gibt es deutlich mehr Möglichkeiten, weil aus jedem Dreiklang verschiedene Septakkorde durch Hinzufügen einer verminderten, kleinen oder großen Septime gebildet werden können.

Wenn du die beiden Musikgenres vergleichen willst, kommt aber hinzu, dass Popmusik meistens nur die 4 wichtigsten Dreiklänge von einer einzigen Tonart verwendet, während Jazz oft in sehr schnellem Tempo durch viele Tonarten moduliert.
Jazz hat objektiv viel mehr harmonische Variation als Popmusik.
Subjektiv kann es jemandem langweilig vorkommen, wenn er die Musik nicht gewohnt ist zu hören.

Das Wort "Substituieren" kommt aus der Jazzharmonik und der meistens gemeinte Sachverhalt ist das Tritonus-Substitut. Das wäre beispielsweise, wenn in C-Dur die Dominante G7 durch den tritonusverwandten Des7 ersetzt würde.
Das findet man in der Kirchenmusik der Hauptkirchen nicht, vielleicht schon eher bei den Liedern der Zeugen Jehovas, die sich auch bei Klischees aus dem Jazz bedienen.

Der Hochzeitsmarsch startet mit einer Zwischenkadenz zum Tonika-Gegenklang e-moll (a-moll, H-Dur, e-moll). Der erste Akkord ist die Subdominante von e-moll mit hinzugefügter Sexte: a-moll + Fis. Nach dieser Kadenz folgt eine Kadenz in der Haupttonart C-Dur. Hier lässt sich alles wunderbar über Funktionsharmonik erklären.
Das Stück ist übrigens keine Kirchenmusik, sondern aus der Schauspielmusik zum Sommernachtstraum von Felix Mendelssohn.

Was Arlecchino sagt ist richtig.
Wenn dieser Akkord gespielt wird, ist das Akkordsymbol in 99,9% der Fälle C7.

Wenn es in einem Spezialkontext tatsächlich sehr wichtig sein sollte, anzugeben, dass die Terz fehlt, könnte man C7(omit3) schreiben.

Der Powerchord hat nur Grundton und Quinte, damit er auch bei den lauten verzerrten Klängen der E-Gitarre gut klingt. Komplexere und engere Intervalle wie Terzen sind da unerwünscht, erst recht Dissonanzen wie die 7.
Aber C7(no3) wäre, wie MarcoCharles sagt, auch eine Möglichkeit, verständlich zu machen, dass die Terz unbedingt fehlen soll, auch wenn es sich dann nicht mehr um einen Powerchord handelt.

Die Emanzipation der Dissonanz und anderer Tonsysteme hat schon längst Anfang des 20. Jahrhunderts stattgefunden. Anstatt das Rad zweimal zu erfinden ist es bestimmt sinnvoller, sich mit den bestehenden Ansätzen zu beschäftigen und, nur als Beispiel, Bartok, Hindemith oder Schönberg zu lesen und deren Musik zu hören.

Mir ist auch nicht ganz klar, ob mit Oktatonik 8 verschiedene Töne (das würde ja auf die verminderte Skala hinauslaufen) gemeint sind, oder ob 1. und 8. identisch sein sollen ("Rahmentöne im Oktavabstand").
Was aber Sinn machen könnte, wäre den Begriff "Tongeschlecht" zu vermeiden, in anderen Sprachen wird er so auch nicht verwendet. Also lieber "Ist der Akkord Dur oder Moll?" und nicht "Wie ist das Tongeschlecht des Akkords?".

Das ist die I-V-vi-IV Akkordfolge in Ges-Dur (Gb-Db-Ebm-Cb).
Die ist charakteristisch für verschiedene Pop-Richtungen.
Der Takt ist gerade, normalerweise 4/4, das Feeling ist vielleicht nicht ganz straight sondern ein bisschen geshuffelt.

Du hast die richtigen Töne genannt.
Das Arrangement scheint mehr darauf ausgelegt zu sein, leicht spielbar zu sein, als besonders gut zu klingen.
Zu dem A7: Ich hätte nicht die Septime verdoppelt, sondern die Quinte ergänzt, also cis-e-a statt cis-g-a.
Gebrochene Akkorde würden auch schöner klingen als immer nur einmal alle Töne gleichzeitig.