Hallo,
grundsätzlich bestimmt man ein (lokales) Extremum indem man die Nullstelle der Ableitung bestimmt.
Es kann aber auch sein, dass die Gewinnmaximale Menge an einem anderen x-Wert zufinden ist (Randwerte prüfen).
Liegt halt an der Aufgabenstellung, die du uns verschweigst.
Hallo RechtschreibPZ,
ich weiß ja nicht wie Alt du bist, oder was du später vorhast, aber wenn du Mathematik wirklich magst und großer Fan bist, dann nutze dein Interesse doch aus und probiere dich mal an der Hochschulmathematik.
Hier möchte ich dir als Einstieg die Lektüre von Albrecht Beutelspacher empfehlen. Sein Buch *Lineare Algebra* eignet sich sehr um mit dem Stoff anzufangen.
Aber das heißt nicht, dass es nicht hart wird.
Mathematik ist ein sehr weites Gebiet und wundervoll. Interessant, spannend, ein bisschen verrückt und vor allem ganz anders, als du es aus der Schule kennst!
Es ist gut, wenn man möglichst früh anfängt. Dann kann man in der Mathematik ein ganz großer werden.
Der Stoff aus der Schule hat nämlich mit Mathematik eigentlich nicht so viel zu tun. Und deshalb kannst du bisher nicht sagen in wie fern du Mathematik wirklich magst. Vielleicht magst du auch nur Unterhaltungsmathematik. Denn für *echte* Mathematik muss man auch Frustration hinnehmen.
Aber wenn man diese Hürde genommen hat, und aktuell hast du ja auch Zeit, dann ist das alles halb so wild. Deshalb empfehle ich jedem Mathematikinteressierten sich ein Lehrbuch zu schnappen und einfach mal anzufangen.
https://www.springer.com/de/book/9783658024123?gclid=CjwKCAjwg6b0BRBMEiwANd1_SPsNITwY8VlYD5ldPgBF-Lmj2OeTx9cnWy857e_X4XT4t6OMM4GwSxoCG54QAvD_BwE
Das Buch ist auch echt nicht teuer. Und welche Eltern zahlen nicht gerne ein Buch führ ihre Kinder?
Wenn du mehr an Unterhaltungsmathematik interessiert bist, dann kann ich dir die Geschichte um den Letzten Satz von Fermat sehr empfehlen.
https://www.thalia.de/shop/home/artikeldetails/ID02944237.html?ProvID=11000522&gclid=CjwKCAjwg6b0BRBMEiwANd1_SD7INpA-RepxVQwIz3tw2mO_G8EEmo457QbqpNr0e8gWqMJ2W5OdmxoC6QAQAvD_BwE
Tatsächlich haben sehr viele Mathematiker, oder auch mathematische Probleme, ganz bewegende Biographien, oder Geschichten. Und eine Beschäftigung mit den Persönlichkeiten, die hinter der Mathematik stehen, ist ganz inspirierend.
Es gibt auch eine Dokumentation, mit dem gleichen Titel. Aber auf Englisch. Wahrscheinlich aber auch ins Deutsche übersetzt.
https://www.dailymotion.com/video/x1btavd
Hallo,
wie ist deine Funktion denn definiert? Also auf welchem Bereich? Den ganzen reellen Zahlen?
Dein Foto ist leider zu klein um es (ohne große Mühe) zu lesen.
Du hast die Funktionsgleichung:
f(x)=sin(2x)+3x angegeben.
Der Sinus kann nur Werte von -1 bis 1 annehmen.
Das heißt, dass eine Nullstelle nur in einem recht kleinen Bereich liegen kann. Denn 3x wird zu schnell 'groß'.
Wir haben ja de Worstcase 3x-1=0 und im besten Fall 3x+1=0
So kannst du den Bereich der Nullstelle eingrenzen. Die Nullstelle liegt also im Bereich [-1/3 , 1/3].
Eine algebraische Lösung für diese Gleichung gibt es nicht.
Du kannst sie nur numerisch lösen. Etwa mit dem Newton-Verfahren, falls ihr das in der Schule gelernt habt.
Tatsächlich ist es hier aber so, dass man die Nullstelle praktisch sofort sieht.
Nämlich x=0.
Es bleibt zu begründen, dass dies die einzige ist. Dafür könntest du zeigen, dass die erste Ableitung strikt positiv ist. Daher, die Funktion steigt immer.
Damit wäre gezeigt, dass deine Funktion eine sog. injektive Funktion ist.
Soviel kann ich dir sagen: Mach einfach das worauf du Lust hast.
Ob du in die Richtung Forschung gehen willst, das kannst du jetzt noch nicht sagen. Dazu müsstest du erstmal studieren und dann promovieren. Bis dahin ist aber praktisch egal, was du in der Schule gemacht hast, weil die Unimathematik sehr viel anders ist, als das was du in der Schule machst. Da wird dir wahrscheinlich auch nicht der Vertiefungskurs helfen.
Wenn du jedoch weißt, dass du studieren möchtest, und dies im mathematischen/naturwissenschaftlichen Bereich werden soll (also eines der sog. MINT-Fächer), dann schadet es nicht, wenn du so einen Vertiefungskurs belegst.
Sprachen sind schön, aber es reicht auch wenn man gewisse Dinge nur als Hobby macht. Sich in Sprachen alleine weiterzubilden, ist nicht so einfach. Wenn du der Meinung bist, dass dir französisch sprechen sehr wichtig ist und es anders vielleicht nicht geht, dann kannst du das dem Vertiefungskurs Mathematik vorziehen. Eine Voraussetzung für die Uni wird es nicht sein. Das ist ausgeschlossen. Deine Studierfähigkeit wird es wahrscheinlich auch nicht erhöhen.
Also: Mach einfach das wo du mehr Lust drauf hast. Was den Vertiefungskurs angeht, hast du ja auch schon bedenken geäußert.
Es spricht übrigens nichts dagegen sich ein Buch (aus der Fachliteratur) zu schnappen und mal so ein anderen Stoff hereinzuschnuppern.
Das kann sowohl ein Buch auf Französisch sein, was du einfach mal so liest und dir dann die notwendigen Dinge (Vokabeln, Grammatik) aneignest, oder auch ein Mathematikbuch aus dem Kanon der üblichen Klassiker wenn es um Einführungsliteratur geht. Analysis I von Heuser, oder Forster. Lineare Algebra von Beutelspacher etc.
Das ist dann eine intensive Erfahrung, was du als Hobby für dich machen kannst. Nur so kannst du wirklich wissen, wie es ist zu studieren, oder nicht.
Indem du es selber machst. Für dich alleine. Ganz ohne Lehrer. Das wo du Lust zu hast.
Die Schule wird dir da nicht viel helfen.
Die Polynomdivision macht nur dann Sinn, wenn du eine Gleichung lösen möchtest, deren Grad größer gleich 3 ist. Für Grad 2 gibt es die pq-Formel und für Grad 1 handelt es sich um eine lineare Gleichung, deren Lösung kein größeres Problem darstellt.
Dann ist die Polynomdivision als Lösungsmethodik für jeden höheren Grad geeignet. Der große Nachteil einer Polynomdivision ist, dass man dafür eine Nullstelle erkennen muss um später diesen Linearfaktor abzuspalten und den Grad um Eins zu reduzieren. Dies muss so lange geschehen bis du nicht mehr auf die Polynomdivision zurückgreifen musst. Du also Grad 2 erreicht hast. Du kannst natürlich schon vorher abbrechen, wenn du etwa eine geschickte Faktorisierung erkennst. Im Allgemeinen muss man sie jedoch so lange durchführen.
Was ist wenn ich eine Nullstelle nicht finde, weil sie "unschön" ist. Also vielleicht eine Dezimalzahl mit vier Nachkommastellen? Sowas sieht man nicht. Genau hier kommt das Newton-Verfahren zum Einsatz. Denn dies ist ein geeignetes Näherungsverfahren für solche Nullstellen. Dabei geht das Newton-Verfahren und die Polynomdivision Hand in Hand. Zu erst näher ich eine Nullstelle mit dem Newtonverfahren und führe dann damit eine Polynomdivision durch (was relativ ekelig ist). Aber irgendwie muss auch die Existenz von keinen weiteren, oder mehr Nullstellen begründet werden. Das kann man aber auch mit anderen Überlegungen schaffen, wie einer Wertetabelle und dem sogenannten Zwischenwertssatz, den du im Zusammenhang mit dem Newton-Verfahren sicher gehört hast. Für die exakte Berechnung dieser Nullstellen brauchst du dann unter Umständen eben Newton. Wenn es nur um die Existenz geht, dann reichen einfachere Überlegungen.
2x^6-12x^5+9x^4=0
Zu erst klammern wir x^4 aus (das hast du ja selbst genannt)
x^4(2x^2-12x+9)=0
Nun wenden wir den Satz vom Nullprodukt an. Der fehlt wohl in deiner Liste. Kennen tust du ihn bestimmt, da es Hand in Hand mit ausklammern geht.
Also, ein Produkt ist Null wenn einer der Faktoren Null ist. Es ist also
x^4=0 oder 2x^2-12x+9=0
x^4=0 ist leicht gelöst. Das ist einfach für x=0 der Fall. (Dies wäre eine vierfache Nullstelle)
2x^2-12x+9=0
Hier benötigen wir nun die pq-Formel
2x^2-12x+9=0
Zur Erinnerung:
Um die pq-Formel anwenden zu können müssen zwei Dinge erfüllt sein. 1. Die Gleichung muss gleich Null gesetzt sein. 2. Der Vorfaktor des x^2 muss eine 1 sein.
Die 1. Bedingung ist offensichtlich erfüllt. Die 2. Bedingung aber noch nicht. Wir müssen das also noch korrigieren. Wie machen wir das? Ganz einfach, indem wir die Gleichung mit 2 dividieren. Wir erhalten
x^2-6x+4.5=0
Beachte, dass man beim dividieren jeden(!) Summanden der Gleichung dividieren muss. Das wird leicht vergessen.
Nun können wir die pq-Formel anwenden.
Es ist p=-6 (auch hier das negative Vorzeichen beachten) und q=4.5
