Zeitdilatation und Lorentzkontraktion durch Gravitation beeinflusst hat jemanden die Formeln zum ausrechnen der Zeitmessung und der Längenmessung?
2 Antworten
Hallo Henriklol123,
in vielen Fällen ist die sog. SCHWARZSCHILD- Metrik eine geeignete Formel. Sie beschreibt die Raumzeit in der Nähe einer kugelsymmetrischen Massenverteilung der Masse M, außerhalb der Massenverteilung selbst (r > R, wobei R die Außengrenze der Massenverteilung darstellt), genauer gesagt die Beziehung zwischen Abständen einerseits und Koordinatendifferenzen andererseits von Ereignissen.
Je zwei Ereignisse können
- zeitartig getrennt sein, d.h., es gibt ein Koordinatensystem, in dem sie "gleichortig" sind,
- raumartig getrennt sein, d h., es gibt ein Koordinatensystem, in dem sie gleichzeitig sind, und
- lichtartig getrennt sein; dies ist der Grenzfall.
Für eng benachbarte zeitartig getrennte Ereignisse (z.B. zwei dicht hintereinander von Ώ aus abgegebenen Signalen) gilt
(1.1) dτ² = dt²q² − dr²/q²c² − r²dΩ²⁄c²,
für raumartig getrennte Ereignisse (z.B. die Reflexion zweier gleichzeitig von Ώ abgegebener Signale durch zwei in gleicher Entfernung von Ώ positionierter Körper) gilt
(1.2) dς² = dr²⁄q² + r²dΩ² − c²dt²,
mit dem SCHWARZSCHILD- Faktor
(2.1) q = √{1 − 2𝑚⁄r}
mit dem Gravitationsradius
(2.2) 𝑚 = GM⁄c²
und der Abkürzung
(2.3) dΩ² := dθ² + sin²(θ)dφ²
Dabei ist
- c ≈ 3×10⁸ m⁄s die Lichtgeschwindigkeit,
- G ≈ ⅔∙10⁻¹⁰ m³/(s²∙kg) die Gravitationskonstante,
- dτ eine sehr kurze Zeitspanne, wie sie durch eine lokale Uhr Ώ direkt gemessen wird (Eigenzeit), etwa die Dauer eines kurzen Vorgangs
- dς ein durch einen relativ zu Ώ ruhenden Maßstab gemessene Abstand zwischen zwei eng benachbarten Punkten um Raum,
- dt die Dauer desselben Vorgangs, wie sie von einer relativ zur Massenverteilung stationäre, weit von ihr entfernten Uhr U ermittelt würde (U- Koordinatenzeit),
- dr, dθ und dφ Koordinatendifferenzen zwischen diesen Punkten in den Sphärischen Koordinaten r, θ und φ.
Die radiale Koordinate r steht für eine gedachte Kugelschale der Fläche 4πr² um die Masse*), der Polarwinkel θ (auf der Erdoberfläche steht ½π − θ für die Geographische Breite) und der Azimutwinkel φ (auf der Erdoberfläche steht er für die geographische Länge) stehen für die Richtung vom Zentrum aus**).
______
*) Bei hinreichend dünner Massenverteilung ist r auch einfach die Entfernung vom Zentrum der Masse. Das Gravitationsfeld verzerrt allerdings die Raumzeit so, dass mehr Radius in die r-Kugel passt als dies normalerweise der Fall wäre. Dies wird gerade durch die SCHWARZSCHILD- Metrik beschrieben.
**) Wobei in manchen Fällen das Zentrum nicht ein Ort ist, von dem aus man irgendwo hingelangen könnte. Hat die Massenverteilung keinen Radius größer als 2𝑚, handelt es sich um ein Schwarzes Loch, und für r < 2𝑚 wird q² negativ, d.h., die radiale Koordinate wird zeitartig. Das Zentrum ist dann also eher ein Zeitpunkt (nämlich der letzte) als ein Ort.
Lorentzkontraktion ist per definition der effekt dass (in einer flachen raumzeit) die länge die an einem bewegten objekt gemessen wird kürzer ist als seine eigenlänge. Lorentzkontraktion hat nichts mit gravitation zu tun.
für die eigenzeit die für einen beobachter vergeht geht ganz allgemein:
als einfachstes beispiel betrachtet man einen stationären beobachter außerhalb einer sphärisch-symmetrischen (und ungeladen und nicht-rotierenden) masse M, womit sich dann in Schwarzschild koordinaten (t,r) ergibt.