Zeigen sie die Gültigkeit der Parallelogrammgleichung?
Hallo, ich weiß nicht wie ich die Gültigkeit zeigen soll, bitte paar tipps und Erklärungen wie ich das Lösen kann :/ danke im voraus.
Aufgabe
Zeigen Sie die Gültigkeit der sogenannten Parallelogrammgleichung:
|𝑧1+𝑧2|² + |𝑧1−𝑧2|² = 2(|𝑧1|²+|𝑧2|²) ,𝑧1, 𝑧2∈ℂ
Kann man diese Aussage geometrisch interpretieren?
im komplexen !
3 Antworten
Wir fangen mit der linken Seite an und führen den Beweis zur rechten Seite hin. Wenn ich nicht z, sondern z* schreibe, dann meine ich damit die Konjugation von z. Wenn z = a + bi ist, dann ist z* = a - bi. Außerdem wird hier eine wichtige Regel verwenden, nämlich |z|² = zz*. Weil ich " * " schon als Kennzeichnung für die Konjugation benutze, ist "a mal b" = ab.
|z1+z2|² + |z1-z2|²
= (z1+z2)(z1+z2)* + (z1-z2)(z1-z2)*
= (z1+z2)(z1*+z2*) + (z1-z2)(z1*-z2*)
= (z1z1* + z2z1* + z1z2* + z2z2*) + (z1z1* - z2z1* - z1z2* + z2z2*) Anmerkung: Alle fett und kursiv markierten Teile kürzen sich gegenseitig heraus. Übrig bleiben:
= (z1z1* + z2z2*) + (z1z1* + z2z2*)
= 2z1z1* + 2z2z2* Anmerkung: die vordere 2 ist eine Zahl, während die Nachfolgenden eine Indizierung der Variablen sind! Für den nächsten Schritt nutzen wir wieder die Regel zz* = |z|²
= 2|z1|² + 2|z2|²
= 2(|z1|² + |z2|²)
Damit sind wir perfekt auf der rechten Seite herausgekommen haben die Gültigkeit dieser Gleichung bewiesen.
|z2-z1|² = |z2² - 2*z1*z2 +z1²| = |A1|
|z2+z1|² = |z2² + 2*z2*z1 + z1²| = |A2|
Somit ist |z2-z1|² + |z2+z1|² = |z2² - 2*z1*z2 +z1²| + |z2² + 2*z1*z2 +z1²| = A1 + A2 = |A1| + |A2| = |A1 + A2|
Jetzt ist es so, dass man das alles zu einem Betrag zusammenfassen kann, denn du addierst ja jetzt die Beträge der Beiden Flächen. (Ist so als würdest du sagen, dass du 50 Euro hast und 3 Euro Schulden. Das ist dann |50 Euro| - |-3 Euro| = |50 - 3| = |47|)
Damit ist halt |z2² - 2*z1*z2 +z1²| + |z2² + 2*z1*z2 +z1²| = |z2² - 2*z1*z2 +z1² + z2² + 2*z1*z2 +z1²|
Und das kannst du dann zu |2z2 + 2z1| zusammenfassen.
Da du von z2 und von z1 jeweils die doppelte Menge hast, hast du schließlich 2*|z2+z1|.
Jetzt haben wir noch gesagt, dass z2 und z1 beide komplex sind, was aber nichts an der obigen Herleitung ändert, denn wir betrachten ja die Beträge!
Wenn wir z2 und z1 komplex konjugieren können wir erst mal die Realteile in einen Betragstrich, und die komplexwertigen Glieder in einen zweiten Betrag schreiben. (Begründun s.o.)
Bei den komplexwertigen Gliedern kann man schließlich das i wunderbar ausklammern und dann hat man mit | i | = 1 multipliziert.
Ein Beispiel:
z1 = 5 + 4i
z2 = 4 + 2i
Setzen wir dies nun in 2*|z2+z1| ein, dann erhalten wir zunächst 2*|5 + 4i + 4 + 2i| = 2*|5+4 + 4i+2i| = 2*|9+6i| = 2*(|9| + |6i|)
|6i| = |6*i| = |6|*| i | = |6|*|1| = |6|
Daran kannst du halt sehen, dass man bei den BETRÄGEN (und nur dort!!!) die i einfach wegstreichen kann, da diese den Betrag 1 haben.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
JTR
Shiiit, ich hatte keine Zeit mehr mich zu korrigieren:
Du hat natürlich am Ende 2*(|z2|²+|z1|²)
Setzen wir in 2*|z2+z1| meine Beispielwerte ein, dann erhalten wir zunächst 2*(|5 + 4i|² + |4 + 2i|²) = 2*|5+4 + 4i+2i|² = 2*|9+6i|
Jetzt ist ja als Beispiel |5+4i|² = (|5| + |4i|)² und |4i| = |4|*| i | = |4| * |1| = |4|
Daran kannst du halt sehen, dass man bei den BETRÄGEN (und nur dort!!!) die i einfach wegstreichen kann, da diese den Betrag 1 haben.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
JTR
Das sind doch einfach nur die Bin. Formeln. Du musst also nur Zeigen, dass der Betrag da nicht im Weg steht.
Edit : Das scheint nicht zu gehen.
danke für deine Mühe aber habe es jetzt doch alleine hingekriegt, und es ist tatsächlich eine Parallelogrammgleichung... dann hast du irgendwas falsch gemacht ;/ aber danke
Ich hab´s mir gerade aufgemalt und es folgt aus dem Kosinussatz und in meiner Zeichnung kamen nur Dreiecke aber keine Parallelogramme vor.