Wurzel liegt zwischen zweier Faktoren bei Multiplikation zweier Faktoren?

Wenn man zwei Faktoren multipliziert, sind entweder beide die Wurzel, oder die Wurzel liegt zwischen den beiden. Warum ist das so? Vielen Dank!

Answer 1

[mihisu]

Das stimmt so allgemein doch gar nicht!

Gegenbeispiel:

$\left(-3\right)\cdot \left(-12\right)=36$

$\sqrt{36}=6$

Die Zahl 6 liegt nun jedoch nicht zwischen -3 und -12.

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Ich gehe mal davon aus, dass du von positiven Zahlen als Faktoren ausgehst. Also...

====== Behauptung ======

Für alle a, b ∈ ℝ mit a > 0 und b > 0 ist entweder...

• a < √(a ⋅ b) < b [nämlich dann, wenn a < b ist]
• a = √(a ⋅ b) = b [nämlich dann, wenn a = b ist]
• a > √(a ⋅ b) > b [nämlich dann, wenn a > b ist]

====== Zwischenbemerkung ======

Ich setze als bekannt voraus, dass die reelle Quadratwurzelfunktion streng monoton steigend ist. D.h. für alle nicht-negativen reellen Zahlen a, b mit a < b gilt √(a) < √(b). [Bei kleinerem Radikanden ist auch der Wurzelwert kleiner.] Und auch die Multiplikation mit einer

====== Beweis der Behauptung ======

------ 1. Fall: a < b ------

$a< b$

[Bei Multiplikation mit einer positiven Zahl, hier b, bleibt die Ordnungsrelation erhalten. (Verträglichkeit der totalen Ordnung der reellen Zahlen mit der Multiplikation)]

$\Rightarrow\quad a\cdot b < b\cdot b$

$\Rightarrow \quad a\cdot b < b^2$

[Beim Ziehen der Quadratwurzel heben sich Quadrieren und Wurzelziehen auf der rechten Seite gegenseitig auf. Außerdem geht hier ein, dass a und b positiv sind, damit auf der linken Seite dann √(a ⋅ b) überhaupt definiert ist und auf der rechten Seite b statt |b| übrig bleibt. Da die Quadratwurzelfunktion streng monoton steigend ist, bleibt die Ordnungsrelation erhalten.]

$\Rightarrow\quad \sqrt{a\cdot b} < \sqrt{b^2}$

$\Rightarrow\quad \sqrt{a\cdot b}< b$

Analog dazu erhält man andererseits (Multiplikation mit a, dann Quadratwurzel ziehen)...

$a < b\quad \Rightarrow\quad a^2 < a\cdot b\quad \Rightarrow\quad a < \sqrt{a\cdot b}$

Und damit folgt dann...

$a<\sqrt{a\cdot b}< b$

------ 2. Fall: a = b ------

In diesem Fall erhält man...

$a=\sqrt{a^2}=\sqrt{a\cdot a}\overset{[a= b]}{=}\sqrt{a\cdot b}\overset{[a= b]}{=}\sqrt{b\cdot b}=\sqrt{b^2}=b$

------ 3. Fall: a > b ------

Der Beweis erfolgt im Grunde wie im 1. Fall nur mit vertauschter Benennung von a und b.

$a> b\quad \Rightarrow\quad a^2 > a\cdot b\quad \Rightarrow\quad a > \sqrt{a\cdot b}$

$a> b\quad \Rightarrow\quad a\cdot b > b^2\quad \Rightarrow\quad \sqrt{a\cdot b} > b^2$

====== Anschaulichere Erklärung ======

Da die Quadratwurzel so quasi immer zwischen den beiden Faktoren a, b liegt, spricht man bei √(a ⋅ b) übrigens auch von einem „geometrischen Mittelwert“.

Warum „geometrisch“? Das hat ein wenig mit der folgenden geometrischen Veranschaulichung zu tun...

Man hat ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b. Nun möchte man ein Quadrat finden, welches den gleichen Flächeninhalt hat. Wie groß ist die Seitenlänge dieses Quadrats? Antwort: Die Seitenlänge entspricht dem geometrischen Mittelwert √(a ⋅ b).

Und da hast du dann evtl. auch eine etwas anschaulichere Erklärung... Wenn das Rechteck noch kein Quadrat ist, muss man auf der einen Seite etwas wegnehmen (→ Quadratseitenlänge kleiner als längere Rechteckseitenlänge) und auf der anderen Seite etwas hinzufügen (→ Quadratseitenlänge größer als kürzere Rechteckseitenlänge), um ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu erhalten.

Comments

[User1746968]

Und warum ist eigentlich die nächste Näherung dann besser?

[mihisu]

@User1746968

Was für eine Näherung? Ich verstehe die Frage in diesem Zusammenhang nicht.

[User1746968]

@mihisu

Das nächste Rechteck, also a(neu) = (a+b):2 und b= Radikand:a . Warum kommt da ein kleineres Intervall raus als davor, aus welchem Grund wird die Wurzel genauer angenähert?

[User1746968]

Danke für die ausführliche Erklärung, das hat echt geholfen!!

Answer 2

[DietmarBakel]

Logisch z.B.

4 x 4. = 16 zwei Faktoren 4

die 16 hat die beiden Wurzeln 4

4 x 5 = 20 zwei ungleiche Faktoren 4 und 5

die 20 hat die Wurzel 4,4721

16 hat die Wurzel 4 und 25 hat die Wurzel 5

Also liegt 4,4721 zwischen 4 und 5

Funktioniert auch mit z.B. 56 x 73. Die Wurzel liegt auch dazwischen.

Answer 3

[Aurel8317648]

Anregung:

a>0, ε>0

2 Zahlen: a, a+ε

Produkt der 2 Zahlen: a*(a+ε) = a^2 + a*ε

√(a^2 + a*ε) > √(a^2) = a

√(a*(a+ε)) < √((a+ε)^2) = a+ε