Wieso hat ein Hohlzylinder einen größeren Trägheitsmoment als ein Vollzylinder, obwohl ein Vollzylinder mehr Masse hat?
Beide Zylinder sind gleich groß. Sie rollen über eine schiefe Ebene
7 Antworten
Aus der Angabe mit der schiefen Ebene schließe ich, dass Ihr die Zylinder habt runterrollen lassen und der Vollzylinder kam schneller unten an?
Wo aber ist die Rechnung, die daraus das vermeintlich größere Trägheitsmoment errechnet?
Ohne Rechnung kommst Du nicht weiter, denn wenn, wie Du schreibst, der Vollzylinder mehr Masse hat, dann erfährt er auch mehr Hangabtriebskraft - kann also durchaus auch trotz größerem Trägheitsmoment früher unten ankommen.
Weil dem nicht so ist.
Das Trägheitsmoment des Vollzylinders ist größer.
Nur relativ, bezogen auf die Masse des Objektes, ist das Trägheitsmoment des Hohlzylinders größer.
Die einfache aber wahrscheinlich unbefridigende Antwort ist: weil das Trägheitsmoment so definiert ist.
https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment#Allgemeine_Definition
D.h je weiter die Masse vom Mittelpunkt, bzw um präziser zu sein der Rotationsachse, entfernt ist, desto größer ihr Beitrag zum Trägheitsmoment. Daher hat ein Hohlzylinder bei gleicher Masse ein höheres Trägheitsmoment als ein Vollzylinder.
Die Frage ist nun, warum ist die Definition so sinnvoll? Dafür mochte ich eine evtl formal nicht ganz korrekte Motivation geben: Zuerst betrachten wir eine Punktmasse m, die sich auf einer Kreisbahn mit Radius r bewegt. Um die Masse auf der Kreisbahn zu halten muss die Zentripetalkraft m*v/r^2 aufgebracht werden, dabei ist v die Geschwindigkeit der Masse. Damit hat das Teilchen eine kinetische Energie von E=m*v^2.
Nun gehe ich von "normalen" zu Rotationsbewegungen, dabei gibt es einige Ähnlichkeiten:
kinetische Energie -> Rotationsenergie, Kraft -> Drehmoment, Masse -> Trägheitsmoment, Geschwindigkeit -> Winkelgeschwindigkeit...
Wenn nun die Rotationsenergie analog zur kinetischen Energie sein soll ist: E_rot=1/2*I*(omega)^2, wobei (omega) die Winkelgeschwindigkeit und I das Trägheitsmoment ist. Nun erscheint es sinnvoll das die Rotationsenergie gleich der kinetischen ist. Aus dem vorherigen Beispiel kann ich berechnen, dass die Umlaufzeit T=2*(pi)*r/v ist, bzw 2*(pi)/T=(omega)=v/r. Damit folgt: E_kin=1/2*m*v^2=1/2*m*r^2*(omega)^2 da dies gleich der Rotationsenergie ist folgt: I=m*r^2. Wenn du dir nun vorstellst, dass deine Zylinder aus unendlich vielen und kleinen Massen besteht, kommst du auf die Formel aus dem Artikel.
Es hängt bei gleicher Masse und gleicher äußerer Größe zwar vom inneren Radius ab, aber sehr einfach. Je kleiner dieser ist, desto größer ist das Trägheitsmoment. Unter den genannten Voraussetzungen hat der volle Zylinder das größte Trägheitsmoment
Zusatz: Dass ein Hohlzylinder OBdA ein höheres Trägheitsmoment hat stimmt so nicht, der Umkehrschluss allerdings auch nicht. Welches der Trägheitsmomente größer ist hängt von den Radien (außen und innen) und den Massen ab.
Das Trägheitsmoment ist J =1/2• m • (r² + R²), wobei R und r der äußere und innere Radius ist.
Bei konstanter Dichte ist m = rho • V, also m = rho • h • π • (R² - r²), also insgesamt
J = 1/2 • rho • π • h • (R²-r²) • (R²+r²), und dann nach Binomi 3
J = 1/2 • rho • π • h • (R⁴ - r⁴).
Man sieht, dass das Trägheitsmoment bei r = 0 am größten ist, also bei einem Vollzylinder. Die ist ja auch klar, denn jedes Stück Material im Inneren ist besser als nichts.
Das gefährliche Biest heißt 'das Trägheitsmoment' und nicht der Trägheitsmoment'.
Das kann nicht sein, denn vor dem Lesen der Frage hatte ich einen Trägheits-Moment!