Wieso gibt es keine lineare Abbildung des Einheitswürfels auf die Einheitskugel?
Hallo!
Ich versuche gerade den letzten Absatz dieses Beispiels zu verstehen.
Für mich ergibt das zwar Sinn, dass es keine solche Abbildung gibt, allerdings weiß ich nicht, wie man das formal, nicht geometrisch, beweisen kann. Im Internet habe ich dazu auch nichts gefunden.
Freue mich über weiterbringende Antworten!
1 Antwort
Der durch die Maximumsnorm ||.|| < 1 gegebene Würfel im R^3 wird erzeugt von den kanonischen Einheitsvektoren e1, e2, e2, besteht also aus den Vektoren x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 mit x1, x2, x3 aus (-1,1). Das Bild dieses Würfels unter einer linearen Abbildung f in einen Unterraum des R^3 ist die Menge aller Vektoren x1 f(e1) + x2 f(e2) + x3 f(e3) mit x1, x2, x3 aus (-1,1). Das ist ein allenfalls gedrehter, gestauchter oder gespiegelter Würfel, aber nie eine Kugel.