Wieso funktioniert hier der Rotationskörper nicht?
Ich will die Fläche um die x-Achse rotieren lassen(schwarz markiert).
In Gedanken sieht das gut aus, jedoch funktioniert es so überhaut nicht. Kommt nämlich nur Quatsch raus, lande dann bei ca 7...
Meine Idee war, ich sage einfach -g(x), dann habe ich ja eine Funktion, die mir die Höhe der daraus resultierenden Funktion an jedem Punkt im Intervall von 0 bis ln6 beschreibt.
Die rote Funktion ist f(x) - g(x), siehe oberes Bild, nur ausgeblendet. Ist sogar auch kleiner, soweit so gut.
Nur es kommt nur Bullshit raus. Die blaue Funktion ist am Ende ein Zylinder des Durchmessers 1.
Wenn ich also einfach nur die grüne Funktion im Intervall 0; ln6 rotieren lasse, komme ich auf ca. 13,74, nun ziehe ich den Zylinder ab, und erhalte 12,33 so wie die Musterlsg im Buch, wieso funktioniert meine ,,Vereinfachung" bzw. Idee nicht?
Finde es total hässlich beide Volumina getrennt auszurechnen.
...
Der Zylinder soll davon abgezogen werden, um an das Volumen zu kommen.
Grüne Funktion 0 bis ln6, dessen Volumen als Rotationskörper und dann den Zylinder davon abziehen, dieses Volumen war gesucht.
5 Antworten
Hallo,
mach es Dir an einem Kreis klar.
Nimm an, Du hast einen Kreis mit dem Radius 5 cm. Der hat eine Fläche von pi*r²=25 pi.
So weit, so gut.
Nun berechnest Du die Fläche eines Kreises mit einem Loch in der Mitte.
Das Loch habe einen Radius von 1 cm, also eine Fläche von 1²*pi=pi.
Die Fläche des Kreises mit dem Loch ist somit die Fläche des ganzen Kreises abzüglich der Fläche des Lochs, also 25*pi-1*pi=24 pi.
Wenn Du stattdessen den Kreisradius um 1 cm von 5 auf 4 verringerst, kommst Du auf eine Kreisfläche von 4²*pi=16 pi.
Genau das passiert auch mit Deinem Volumen, bei dem Du ja einfach unendlich viele unterschiedlich große Kreisscheiben mit einem Loch vom Radius 0,5 cm in der Mitte über das Integral summierst.
Du läßt das Loch verschwinden, indem Du den Radius dieser Kreisscheiben um 0,5 cm verkleinerst. Es ist aber ein Unterschied, ob Du diese 0,5 cm außen am Kreis abziehst, wo der Umfang viel größer und der Flächenanteil damit höher ist, oder in der Mitte, wo der Umfang klein ist und die entsprechende Fläche auch.
Deswegen kann Deine Idee - so verführerisch sie auch sein mag - nicht funktionieren. Du mußt wohl oder übel den Zylinder abziehen, was aber auch kein großer Aufwand ist, denn der Zylinder läßt sich ja ganz simpel aus Radius und Höhe berechnen ohne noch ein Integral zu bemühen.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Rotation von f–g produziert einen massiven Körper („ohne Loch“). Ein Ring („mit Loch“) mit demselben Querschnitt hat ein größeres Volumen, weil die Querschnittsfläche eine größere Kreisbahn durchläuft.
Formal: ∫ (f–g)² dx = ∫ f²–2fg+g² dx ≠ ∫f²–g² dx
Die Rotation von f–g produziert einen massiven Körper („ohne Loch“)
Das war mir klar. Ich dachte jedoch, dies wäre ausreichend und Volumen her gleich.
Aber wie du schon sagst, die blöde Kreisbahn und das Quadrat der Kreisformel macht meinen Idee wohl zu nichte. Der Ring ist volumentechnisch deswegen viel größer.
Danke dir :D
Volumen vom Rotationskörper um die x-Achse → Herleitung
gegeben: f(x)=...
1) eine Zeichnung machen mit den x-y-Koordinatensystem und der Funktion f(x)=..
wir betrachten ein Volumenteilchen dV=A*dx mit A=r²*pi → r=f(x) → r²=y²=(f(x))²
dV=y²*pi*dx auf beiden Seiten integrieren
∫dV=V=pi*∫y²*dx
V=pi*∫y²*dx
r=y=f(x)-g(x)=3*e^(-2*x)-0,5 Substitution z=f(x)
y²=(....)²=z²-2*0,5*z+0,5²=z²-1*z+0,25
den Rest schaffst du selber.Das ist nur noch viel Rechnerei
einfacher und übersichtlicher ist Volumen=(großes Volumen) minus (kleines Volumen)
siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.
Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale,Anwendung der Integralrechnung
Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse
V=pi*∫y²*dx
f(x))=3*e^(-1*x) → g(x)=0,5
Schnittstelle f(x)=g(x) → 0=g(x)-f(x)
0=0,5-(3*e^(-1*x)=0,5-3*e^(-1*x)
e^(-1*x)=0,5/3 logarithmiert
-1*x=ln(0,5/3)
x=ln(0,5/3)/-1=1,7917..
Volumen des Zylinders V=r²*pi*h=0,5²*pi*1,7917=1,407..VE (Volumeneinheiten)
großes Volumen aus y=f(x)=3*e^(-1*x)
y²=[3*e^(-1*x)]*[3*e^(-1*x)]=9*e^(-1*x+(-1*x))=9*e^(-2*x)
V=pi*∫9*e^(-2*x)*dx=9*pi*∫e^(-2*x)*dx
Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=∫f(z)*dz/z´
Substitution (ersetzen) z=-2*x abgeleitet z´=dz/dx=-2 → dx=dz/-2
F(x)=9*pi*∫e^(z)*dz*1/-2)=-4,5*pi*e^(z)+C
F(x)=V(x)=-4,5*pi*e^(-2*x)+C
V=Obere Grenze minus untere Grenze=V(xo)-V(xu) mit xo=1,7917 und xu=0
V=(-4,5*pi*e^(-2*1,7917)] - [-4,5*pi*e^(-2*0)]=(-0,3927) -(-14,137)
V=-0,3927+14,137=13,744
V(groß)=13,744 VE
V=V(groß)-V(klein)=13,744-1,407=12,337 VE in den Grenzen xu=0 bis xo=1,7..
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
Wenn du dir die jeweilige Rotationskörper anguckst, siehst du, dass dein Rotationskörper ne ganz andere Form hat, als der Rotationskörper mit dem Zylinder. Es gibt also keinen offensichtlichen Grund, warum sie gleich sein sollen. Sind sie auch nicht!
Du gehst davon aus, dass für das entgültige Volumen egal ist, wie weit deine Figur weg vom Rotationszentrum ist, aber das stimmt nicht! Je weiter weg ein Punkt vom Rotationszentrum ist, desto größer wird das Volumen, das deswegen erzeugt wird, denn der Radius wird größer. Sonst bräuchtest du zur Berechnung von Rotationskörpern nur den Flächeninhalt unter der Kurve auszurechnen und mit 2pi r multiplizieren. Aber das gibt das falsche Ergebinis!
Das einfachste Beispiel (in 2d) dazu: Sagen wie ich rotiere einen 1 cm langen Strich von (1|0) zu (2|0) um den Ursprung und will den Flächeninhalt der Rotationsfigur haben. Das ist ein 1cm breiter Streifen der Länge ca 9.5, also kommt ca 10 cm² raus. Aber wenn ich den Strich (100,0) zu (101,0) um den Ursprung rotiere, dann kommt ein viel viel längere 1cm breiter Streifen raus.