Wie rechnet man das?
Aufgabenstellung lautet: Zu 300 cm³ Orangensaft von 30 °C gibt
man 50 g Eis von 0 °C. Berechne, auf wel-
che Endtemperatur man den Saft im güns-
tigsten Fall abkühlen könnte. Verwende
für Orangensaft die Werte von Wasser
1 Antwort
Die Schmelzwärme von Eis beträgt 334 J/g. Ohne diesen Zahlenwert kann man nichts rechnen; die Wärmekapazität von Wasser ≈ Orangensaft ist natürlich c= 4.18 J g¯¹ K¯¹, und wir nehmen auch an, daß 1 cm³ = 1 ml ≈ 1 g.
Gedanklich zerlegen wir den Gesamtvorgang in ein paar Einzelschritte. Das ist nicht unbedingt notwendig, aber für die meisten Leute einfacher und weniger fehleranfällig, als wenn man eine große Gleichung herleitet und sie nach der Endtemperatur auflöst.
Zuerst betrachten wir den Schmelzvorgang: Wir haben 50 g Eis, das verbraucht beim Schmelzen Q = 50⋅334 = 16.7 kJ. Damit kann man die m=300 g Orangensaft um ΔT=Q/(mc)=13.3 K abkühlen, es hat also nur noch 16.7 °C.
Wir haben also jetzt mₛ=50 g Schmelzwasser von Tₛ=0 °C plus mₒ=300 g Orangensaft von Tₒ=16.7 °C, und wollen die Mischungstemperatur wissen. Da die Wärmekapazitäten gleich sind, kann man das einfach als über die Massen gewichteten Mittelwert berech−nen; die Summenmasse ist ja mₜₒₜ=mₛ+mₒ=350 g.
T = mₛ/mₜₒₜ⋅Tₛ + mₒ/mₜₒₜ⋅Tₒ = 50/350 ⋅ 0 + 300/350 ⋅ 16.7 = 14.3 °C
In diesem Fall ist der gewichtete Mittelwert besonders einfach, weil eine Komponente die Temperatur 0 °C hat und daher nichts beiträgt
Wenn man diesen Schnelltrick nicht kennt, dann wird es etwas lästiger. Das Schmelzwasser nimmt genausoviel Wärme auf wie der Orangensaft abgibt. Wenn wir die noch unbekannte Mischungstemperatur mit Tₘ bezeichnen dann nimmt das Schmelzwasser die Wärmemenge Qₛ=cmₛ(Tₘ−Tₛ) auf und der Orangensaft gibt Qₒ=cmₒ(Tₒ−Tₘ) auf. Die beiden kann man gleichsetzen und dann nach Tₘ auflösen (die Wärmekapazität kürzt sich dabei heraus):
cmₛ(Tₘ−Tₛ) = cmₒ(Tₒ−Tₘ)
mₛTₘ − mₛTₛ = mₒTₒ − mₒTₘ
Tₘ = (mₒTₒ + mₛTₛ) / (mₛ+mₒ) = 14.3 °C
Die Formel ist natürlich dieselbe, daher gibt es auch dasselbe Ergebnis.