Wie löst man diese Vektor Aufgabe?

Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Danke für jede Hilfe!
Lösungen sind (0,0,0) und (0,0,8)

Answer 1

[mihisu]

Wenn C auf der z-Achse liegt, sind die x- und die y-Koordinate jeweils gleich 0.

$C\left(0, 0, z_C\right)$

Der Winkel γ beträgt nun genau dann 90°, wenn die Vektoren CA und CB orthogonal zueinander sind, also wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich 0 ist.

$\overrightarrow{CA}\bullet\overrightarrow{CB}=0$

$\Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}0 \\ 6 \\ 2-z_C\end{pmatrix}\bullet\begin{pmatrix}8 \\ -2 \\ 6-z_C\end{pmatrix}=0$

$\Leftrightarrow\quad 0\cdot 8+6\cdot \left(-2\right)+\left(2-z_C\right)\cdot\left(6-z_C\right)=0$

$\Leftrightarrow\quad 0-12+12-2z_C-6z_C+z_C^2=0$

$\Leftrightarrow\quad z_C^2-8z_C=0$

$\Leftrightarrow\quad z_C\cdot \left(z_C-8\right)=0$

$\Leftrightarrow\quad z_C=0\ \vee\ z_C-8=0$

$\Leftrightarrow\quad z_C=0\ \vee\ z_C=8$

Dementsprechend erhält man also (0, 0, 0) und (0, 0, 8) als Lösungen für den gesuchten Punkt C.

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[Skiller92]

Vielen Dank