Wie löst man diese Integralrechnung?

Eine Freundin von mir, geht auf ein Hochbegabten Internat, um dort das WLAN-Passwort zu bekommen muss man jedoch eine Rechnung lösen. Sie selbst weiß aber nicht weiter. Das hat sie sich an mich gewandt. ich habe jedoch selbst auch keine Ahnung und wollte nun euch um Rat fragen.

Danke!

Answer 1

[Willibergi]

Die Geschichte mit deiner Freundin ist zwar vermutlich Schwachsinn, weil das ein bekanntes Bild aus dem Internet ist, aber lassen wir das mal so stehen. Es sieht komplizierter aus, als es ist. Wir können das Integral aufsplitten:

$\int_{-2}^2x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}\ \text{d}x+\frac{1}{2}\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}\ \text{d}x$

Betrachten wir das erste Integral, sehen wir schnell ein, dass es wegen der betragsmäßig gleichen Integralgrenzen gleich dem Integral der achsengespiegelten Funktion ist, weil weiter aber der Kosinus und die Halbkreisfunktion gerade sind, folgt

$\int_{-2}^2\left(-x\right)^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x}\ \text{d}x=-\int_{-2}^2x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}\ \text{d}x$

und damit

$\int_{-2}^2x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}\ \text{d}x=0$

also müssen wir nur den zweiten Teil betrachten, ein elementares Integral:

$\frac{1}{2}\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}\ \text{d}x$

Sofort klar wird es, wenn wir uns die zu integrierende Funktion im Koordinatensystem anschauen:

Rechnerisch ist eine Stammfunktion durch

$x\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}+2\arcsin\frac{x}{2}$

gegeben, Einsetzen der Grenzen ergibt

$\frac{1}{2}\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}\ \text{d}x=\frac{1}{2}\cdot2\pi=\pi$

und wir sind fertig.

Comments

[CJV25]

Danke, du hast das wirklich sehr ausführlich erklärt :) . Das mit der Freunden war übrigens nicht erfunden! Sie geht auf das Lgh in Gmünd und dieser Zettel hing bei denen heute morgen am schwarzen Brett.

Answer 2

[MeRoXas]

Zunächst wird der Integrand ausmultipliziert und in zwei Integranden zerlegt:

$\int_{-2}^2\ \left(x^3\cdot\cos\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\sqrt{4-x^2}\right)dx\ +\ \int_{-2}^2\left(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{4-x^2}\right)dx$

x³ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, cos(x/2) und der Wurzelausdruck sind y-achsensymmetrisch. Insgesamt ist der linke Integrand also achsensymmetrisch.

Für achsensymmetrische Integranden eines Integrals von -a bis a kommt 0 raus. Das linke Integral fällt also komplett raus und übrig bleibt:

$\int_{-2}^2\left(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{4-x^2}\ dx\right)$

Aus der allgemeinen Kreisgleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt im Ursprung und einem Radius von 2 bekommt man x²+y²=4, oder y=√(4-x²). Fassen wir dies als eine Funktion von x auf, beschreibt diese einen Halbkreis mit Radius 2. Der Vollkreis entfällt, weil die Wurzel nur positive Werte ausgibt und wir somit nur positive Werte von y in den Graphen abtragen können.

Das übrig gebliebene Integral gibt also den Flächeninhalt eines Viertelkreises (wegen 1/2) mit dem Radius 2 an. Dieser Flächeninhalt lautet 1/4 * π * 2² = π

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Answer 3

[RadonDerEchte]

Wir multiplizieren aus und betrachten beide Summanden alleine.

x^3 ist eine ungerade Funktion; cos ist gerade; die wurzel mit x^2 ist auch gerade. Also ist der Teil Null.

sqrt(4-x^2) entspricht der y Koordinate auf einer Kreisbahn mit Radius 2. Der gesamte Kreis hat als Fläche 4*pi. Mit dem Integral kriegen wir die obere Kreisscheibe mit Fläche 2*pi. Davon noch mal die hälfte und wir sind bei pi.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 4

[Applwind]

Das löst man geometrisch, rechnerisch ist es ein bisschen komplizierter.

Betrachte dieses Integral als eine Funktion, deren Fläche du ermitteln möchtest.

Woher ich das weiß: Hobby – Schüler.

Answer 5

[Amago]

Der Vorteil von bestimmten Integralen, also mit eingesetzten Grenzen, ist, dass man sie ganz einfach Numerisch integrieren kann.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik Studium, Uni Würzburg