Wie kann man ohne Personalausweis Verträge abschließen?

Natürlich. Kein Vertrag setzt einen Personalausweis voraus.

Einfache Kaufverträge laufen meist sogar anonym. das ist in der Regel in Läden und Geschäften so. Niemand will deinen Ausweis sehen, wenn du eine Packung Kekse kaufst.

Mietvertrage o.ä. können aber meistens ohne Ausweisdokument nicht abgeschlossen werden.

Bei den meisten Verträgen nicht. Auch wenn du im Internet z. B. etwas bestellst (dadurch kommt ja auch später ein Vertrag zu Stande), dann wirst du selten nach einer Perso-Legitimierung gefragt. Du kannst sogar mündlich Verträge abschließen, und sogar stumm: Wenn du in eine Bahn einsteigst, dann schließt du automatisch einen Beförderungsvertrag, ohne Perso, ohne Unterschrift, ohne reden.

Für einen Mietvertrag braucht es keine Ausweis.

ich musste zumindest noch nie einen vorlegen.

Aber spätestens beim Ummelden musst Du Deine Identität irgendwie nachweisen.

Fuer die mit erheblichen Abstand taeglich von dir geschlossenen Vertraege brauchst du keinen Ausweis. Die ganz wenigen, die da noch uebrig bleiben, kannst du ohne Ausweis halt nicht schliessen.