Wie kann man begründen das eine bruchrechnug größer bzw kleiner als etwas ist?

6 Antworten

Du lässt den Nenner verschwinden, indem du mit dem Hauptnenner multiplizierst. Beachte: Bei Mutliplikation mit einer negative Zahl kehrt sich das Ungleichheitszeichen einer Ungleichung um. Das gilt auch in diesem Fall (wenn also der Hauptnenner diese negative Zahl ist.

Beispiele:


a/b + c/d < 5; | * Hauptnenner = bd

Fall 1: bd > 0

ad + cb < 5 usw.

Fall 2: bd < 0

ad + cb > 5 usw.


x / 14 - y /21 > 5; | *42 > 0

3x - 2y > 5


Gleiche Ungleichung, aber mit negativem Nenner geschrieben:

x / 14 + y / (-21) > 5, | * (-42) < 0

-3x + 2y < 5 ; | * (-1)

3x - 2y > 5,

also kommt wieder das Gleiche heraus.


JotEs  03.05.2013, 07:00

Der Fragesteller verlangte nach einer Methode, die ohne Rechnen auskommt ... :-)

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Du meinst schon sicher in der Frage eher: ein Bruch kleiner als der andere und nicht : Bruchrechnung ...

Musst du z.Bsp. 2 Brüche vergleichen: a/b und c/d,

dann vergleiche (ad) und (bc). Ist das Produkt (ad) > (bc), dannist auch der Bruch a/b größer. Umgekehrt gilt: wenn (ad)< (bc), dann ist c/d der größere Bruch.

Es ist auf jeden Fall einfacher, Vergleiche von zwei Brüchen auf diese Weise über die Multiplikation abzuwickeln, als sich mit riesengroßen u.U. kaum handelbaren Hauptnennern herumzuschlagen.

Wenn du Pech hast, steht nämlich unter dem einen Bruchstrich z.Bsp. eine dreistellige Primzahl als Nenner ...

Ganz ohne zu rechnen geht das sicher nicht.

Mit nur wenig Rechnen geht das manchmal durch eine geeignete Abschätzung.

Wenn z.B. deine beiden Brüche jeweils kleiner als 1 sind (ihre Zähler also kleiner als ihre Nenner sind), dann muss ihre Summe kleiner als 2 und mithin auch kleiner als 5 sein.

Welche Art Abschätzung geeignet ist, hängt von der konkreten Aufgabenstellung ab, ein "Patentrezept" gibt es dafür wohl nicht.

Auf den Einwand von JotEs eingehend: Ohne Rechnen, also mit Abschätzung, klappt das nur in geeigneten Fällen.

A. Per Kuchenstück-Vorstellung kriege ich z.B: noch hin, dass z.B.

3/4 (Kuchen) + 2/3 (Kuchen)

mehr ist als 1 1/4 = 5/4 (Kuchen), aber

weniger als 1 1/2 = 3/2 (Kuchen).

Einen in 12 Teile geteilten Kuchen kann ich mir noch genau genug vorstellen, so dass ich "sehe", dass bei 5/4 Kuchen (3/4 + 2/3) um 2/12 überschreitet, dass aber zu 3/2 Kuchen 1/12 fehlt. In diesem Fall habe ich tatsächlich nichts gerechnet, sondern mir die entsprechenden Kuchenstücke vorgestellt.

Ob aber 14/71 mehr oder weniger ist als 15/73, kann ich zwar relativ einfach nachrechnen, mir aber nicht räumlich vorstellen. Es gibt mag entsprechend begabte Personen geben... persönlich kenne ich niemanden.


B. Ein positiver Bruch (geht weiter von der Null weg und) wird größer, wenn sein Zähler dem Betrage nach zunimmt oder sein Nenner dem Betrage nach abnimmt. Beispiel:

425 / 23 < 426 /23 < 426 / 17

Ein negativer Bruch (geht weiter von der Null weg und) wird kleiner, wenn sein Zähler dem Betrage nach zunimmt oder sein Nenner dem Betrage nach abnimmt. Beispiel:

-215 / 17 > -218 / 17 > - 218 / 13

Wenn du die Ungleichungsketten von rechts nach links liest, siehst du auch, wie du einen positiven Bruch kleiner und einen negative größer machst.

Zu diesen Abschätzungen brauchst du nur die Zahlen in Zähler und Nenner direkt zu vergleichen, sonstige Bruchrechnung ist nicht erforderlich. Diese Überlegung ist auch "mathematisch handfest" und beweisend.


C. Du kannst abschätzen, wie oft ein Teiler in eine zu teilende Zahl "hineingeht"; so lernte ich schriftliches Dividieren mit Rest in der Grundschule. Das ist ein Gedankengang, der irgendwie zwischen echter Schätzung und Rechnung schwebt.

Dies Methode liegt der Schreibweise eines unechten Bruchs (Zähler > Nenner) als gemischte Zahl zugrunde, Beispiel:

71/9 = 7 8/9, lies. "Einundsiebzig Neuntel gleich sieben acht Neuntel"

denn 9 "passt 7 mal in die 71 hinein", wobei ein Rest von 8 bleibt. Zur Abschätzung brauchst du den Rest aber nicht auszureichnen, es ist

71/9 > 7 und genauso gut 65 / 9 > 7,

denn die 9 "passt" nur 7 mal in 71 und 65 "hinein", weil 8 * 9 = 72 zuviel ist, 7 * 9 = 63 aber weniger. Wenn du Reste vernachlässigst, kommst du (fast) ohne Rechnung z. B. zu der Erkenntnis, dass

43 / 20 + 227 / 70 > 5, denn

43 / 20 > 40 / 20 = 2 und 227 / 70 > 210 / 70 = 3, also

43 / 20 + 227 / 70 > 2 + 3 = 5.

Mit der entsprechenden Überlegung ist

39 / 20 + 207 / 70 < 5.

vielleicht doch konkreter werden; hast du Brüche mit Zahlen oder Variablen?