Wie kann man am einfachsten (kurz) beweisen, dass Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten orthogonal zueinander sind?
3 Antworten
Kartesische Koordinaten: x,y,z
Beliebige Koordinaten: u, v, w
Du schreibst
Die Klammerausdrücke sind die neuen Basisvektorenin kartesischen Koordinaten, wenn man diese normiert sind das die neuen Einheitsvektoren.
Man kann dann leicht das innere Produkt zweier Einheitsvektoren berechnen. Im Falle der Zylinderkoordinaten ist dieses Null.
Ist auch klar, wenn man es sich aufzeichnet.
Entweder in kartesischen Koordinaten darstellen und alle Skalarprodukte miteinander bilden, diese sollten 0 ergeben, oder du schreibst die 3 Vektoren als Spalten in eine Matrix und zeigst, dass der Betrag der Determinante 1 ist, da die alle auf Länge 1 normiert sind müssen sie dann orthogonal sein. Du kannst auch zeigen, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren der jeweils Dritte ist, bis auf ein Vorzeichen
Du kannst sie als Komponenten des kartesischen Koordinaten ausdrücken und dann jeweils paarweise das Skalarprodukt bilden. Wenn sie orthogonal zueinander sind, dann muss das Skalarprodukt den Wert 0 ergeben.