Wie kann ich ein Dreieck konstruieren mit folgenden Angaben: Winkelhalbierende von Alpha=2,5cm, Alpha=120°, a=15cm?
6 Antworten
Die Winkelhalbierende des Winkels α teilt die Seite a im Verhältnis 12,16 cm : 2,84 cm. Mit dem Zirkel um den Schnittpunkt, den die Winkelhalbierende mit der Seite a bildet, je einen Kreisbogen mit 12,16 cm bzw. mit 2,84 cm schlagen, der mit den Seiten c und b die Schnittpunkte C und B bildet. Das o.g. Seitenverhältnis ist zuvor numerisch zu berechnen.
LG
Die Berechnung des Seitenverhältnisses ist etwas aufwändig. Ich versuche es mit "word". Das Editieren der Formeln ist recht umständlich. Ich werde es im Laufe des heutigen Tages angehen.
Gegeben: ∆ABC mit α = 120°, a = 15cm und e = 2,5cm (Winkelhalbierende)
Gesucht: y (Abschnitt der Seite a, welche von der Winkelhalbierenden e im Punkt S geschnitten wird. Der Punkt S teilt die Seite a ins Verhältnis y : (a-y)
Lösung: ∆ABS: y / sin 60° = e / sin β
→ y = f(β) = e ∙ sin 60° / sin β (1)
∆ASC: (a-y) / sin 60° = e / sin γ
NB: γ = 60° - β und e = y ∙ sin β / sin 60°
aus (1) folgt: (a-y) / sin 60° = y ∙ sin β / ( sin 60° ∙ sin(60°- β) ) (a-y) = y ∙ sin β / sin(60° - β) (a-y / y = sin β / sin(60° - β) a / y - 1 = sin β / sin(60° - β)
→ y = f(β) = a / ( ( sin β / sin(60° - β) ) - 1 ) (2)
aus (1) = (2) folgt: β ≈10,26° und y ≈ 12,16
Folglich ist: a-y≈ 2,84 und γ ≈49,74°
LG
Woww !! Vielen Dank! Und du glaubst nicht, dass es ohne Numerik "nur" mit Zirkel und Lineal lösbar ist?
Die geometrische Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal ist m.E. nicht möglich, weil die Einheit von Seitenverhältnis (a-y), den Innenwinkeln (beta bzw. gamma) und der Länge der Winkelhalbierenden e (wie aus der Herleitung ersichtlich ist) sich nicht mit Zirkel und Lineal (ohne weitere Hilfsmittel) ermitteln lässt. Mir ist jedenfalls nicht bekannt, dass man ein Gleichungssystem dieser Art mit einer geometrischen Konstruktion lösen kann.
Ich habe eine Lösung in einem älteren Buch gefunden (s. angefügte Antwort). Dabei wird der Sekanten-Tangenten-Satz als wesentliches Element benutzt. Es würde mich interessieren, was du davon hältst. Besten Dank für deine Hilfe.
Ich halte diese Konstruktion für eine interessante Lösung. Leider kann ich die Details wegen der geringen Auflösung des Bildes nicht vollständig erkennen. Man könnte einfach anhand eines Beispiels der Konstruktionsbeschreibung in Verbindung mit den Vorbetrachtungen folgen, um zu erfahren, ob die Konstruktion zum erwarteten Ergebnis führt.
LG
Und Du bist sicher, dass es eine Lösung gibt?
Eine Skizze zeigt mir: die Winkelhalbierende teilt das Dreieck ABC in zwei Teildreiecke, von denen Du jeweils nur einen Winkel (60°) und eine Strecke (2,5 cm) kennst. Du weißt ja nicht, in welchem Verhältnis die Winkelhalbierende die Seite a teilt.
Daher komme ich zu dem Ergebnis: eine Konstrukltion ist mit den erlaubten Methoden nicht möglich.
Du kannst natürlich ein Lineal am "anderen" Ende der Winkelhalbierenden vorbei anlegen und durch Probieren das Lineal so hinlegen, dass a die Länge 15 cm hat; doch das dürfte kaum unter "Konstruieren" fallen. Zudem kommen zwei nicht kongruente Dreiecke dabei heraus (die aber wohl die Winkelhalbierende als Spiegelachse haben dürften).
Du hast: Alpha=2,5cm. Das ergibt kein Sinn, denn Alpha ist der winkel, der an Punkt A liegt.
Nimm eine strecke von 2.5 cm und lege daran den winkel von 120° an. Dann zeichne 15cm und dNn verbinden
Die Strecke 2,5 cm ist die Länge der Seitenhalbierenden und nicht die Länge einer Seite. Und der Winkel Alpha liegt gegenüber von Seite a. Deshalb kann deine Idee nicht stimmen. Sorry. Trotzdem danke.
Was ist Alpha= 2,5cm für eine Angabe?
Kenne nur Alpha als Winkelbezeichnung
Die Länge der Winklehalbierenden Alpha ist gleich 2,5cm
Kannst du mir sagen wie ich das Seitenverhältnis numerisch berechnen kann? Vielen Dank.