Wie kann ich die Eigenwerte bestimmen (mit Parameter)?
Ich habe als erstes die Gleichung det(C)=0 aufgestellt, weiß jedoch nicht, wie ich die Nullstellen und damit die Eigenwerte bestimmen kann. Polynomdivision scheint mit Parametern nicht möglich
2 Antworten
Ich gehe davon aus, dass du das charakteristische Polynom gleich mal fröhlich ausmultipliziert hast. Das ist eine denkbar schlechte Idee, wenn man an die Nullstellen kommen möchte. Stattdessen sollte man umgekehrt versuchen, möglichst stark zu faktorisieren. In diesem Fall sollte dir auffallen, dass sich der Faktor (2a-lambda) ausklammern lässt, sodass ein Eigenwert 2a ist, was dann noch in der Klammer stehen bleibt, ist ein Polynom zweiten Grades, in dem sogar a nicht mehr auftaucht, sodass also die Mitternachtsformel (oder pq-Formel) wunderbar anwendbar ist.
Nachtrag: Sorry, hab mich bei der Rechnung vertan. ;) In dem Fall gilt die obige Aussage leider nicht. Dafür hilft, dass die Glieder, die konstant in lambda sind, herausfallen (6a - 6a gibt Null) sodass bei den verbleibenden Termen sich lambda ausklammern lässt. Also ist die erste Nullstelle lambda=0 und in der Klammer bleibt ein Polynom zweiten Grades stehen, dessen Nullstellen mit der Mitternachtsformel (oder pq-Formel) berechnet werden können. Die Koeffizienten hängen von a ab, was die Sache etwas aufwendiger macht, ist aber konzeptionell nicht schwierig, nur etwas mehr Arbeit.
Du musst det( C - lambda I ) = 0 lösen, d.h. in der Klammer noch das lambda-fache der Einheitsmatrix abhziehen und dann nach lambda lösen.