Wie erkennt man ob es sich um eine ganzrationale Funktion handelt und wie bestimmt man die Koeffizienten?

2 Antworten

fjf100
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, Funktion
04.12.2016, 17:00

Beispiel : Parabel "ganzrationale Funktion" 2.ten Grades

Bildungsgesetz : y=f(x)= (x - x1) *(x -x2) * a

Hier sind x1 und x2 "reelle Nullstellen" und a ist nur ein Faktor,mit den das ganze mal genommen wird.

allgemeine Forrm y=f(x)= a2 *x^2 +a1*x+ao

Der höchste Exponent ist n= 2 deshalb "ganzrationale Funktion 2. Grades

HINWEIS : f(x)= 2 * x^2 + 4 *x +10

hat 2 konjugiert komplexe Lösungen z1= - 1 + i 2 und z2= - 1 - i 2

Diese Parabel - nach oben offen - berührt oder schneidet die x-Achse nicht.

"gebrochen ganzrationale Funktionen" stellen einen Bruch dar . Diese haben einen "Zähler" und einen "Nenner" ,wie beim Bruch.

Bruch : 4/6 hier ist der Zähler=4 und der Nenner=6

f(x)= (2 * x^2 + x - 3)/( x^3 + x^2- 3) 

hier ist der Zähler = 2 *x^2 +x -3 und der Nenner= x^3 + x^2 -3

echter Bruch 4/6 unechter Bruch 8/6=1 2/6

Dies gilt auch bei Funktionen

echt gebrochene Funktion f(x)= 2*x^2 + x - 3)/ (x^3 + x^2 -3)

Der Nenner ist größer als der Zähler !

unecht gebrochenen Funktion f(x)= x^3 + x^2 - 5)/( x^2 - 2 *x)

Zähler ist größer als der Nenner !

"ganzrationale Funktion 1.Grades f(x)= a1 * x^1 + ao = m *x +b

höchster Exponent n= 1 deshalb 1.ten Grades ist eine "Gerade"

"ganzrationale Funktion 2.ten Grades f(x)= a2*x^2 +a1*x+ao

höchster Exponent n= 2  deshalb 2.ten Grades ist eine "Parabel"

"ganzrationale Funktion" 3.ten Grades f(x)= a3*x^3 +a2*x^2+a1*x+ao

höchster Exponent n=3 deshalb Funktion 3.ten Grades ist die

"kubische Funktion"

4.ten Grades f(x)= a4*x^4+a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao

Berechnung der Koeffizienten mit den "linearen Gleichungssystem" ,LGS

für jede Unbekannte braucht man eine Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.

Beispiel : Eine Gerade durch 2 Punkte P1(2/4) und P2( 3/ - 4)

ergibt 2 Unbekannte und 2 Gleichungen,also lösbar f(x)= m *x +b

1. 4= m *2 +1 *b

2. -4= m *3+1 *b

dies schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,damit wird´s übersichtlicher

1. 2 *m + 1*b=4

2. 3 *m +1*b= - 4 ergibt m= - 8 und b=20

Probe : y=f(x)= -8 * 3 + 20= - 4 aus P2(3/-4)

Bei der "kubischen Funktion" hat man dann 3 Unbekannte und 3 Gleichungen

1. a3 * x1^3 +a2 *x1^2 +a1 *x1 + 1*ao= y1 aus P1(x1/y1)

2. a3*x2^3+a2*x2^2 +a1*x2 + 1*ao= y2 aus P2(x2/y2)

3. a3*x3^3 +a2*x3^2 + a1*x3 + 1*ao= y3 aus P3(x3/y2) 
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert