Wie bestimmt man eine Basis von einem Annulator
Hallo, Also ich habe U:=span{(2, 3,1, 4, 3),(0, 5, 1,-1, 3), (4,0,1,1,-2)}<=R^5 gegeben.
Da soll ich die Basis vom Annulator also die Basis von U° bestimmen. Leider sitze ich da bisher vergeblich dran. Ich habe bis jetzt eine duale Basis bestimmt und eine Basis, doch ich weiß nicht wie ich zum Annulator oder zur Basis des Anulators komme. Hat das vielleicht schon mal jemand gemacht oder weiß jemand wie ich vorgehen muss??
Danke schon mal im Vorraus.
3 Antworten
So wie ich das verstehe, ist eine Basis des Orthogonalkomplements deines span{} gesucht, also zwei nicht proportionale Vektoren, die auf den drei gegebenen senkrecht stehen.
Hier meine Lösung: (10.5, 8, -41, -1, 0) und (5, 5, -22, 0, -1)
Wie habe ich sie gefunden? Die gegebenen 3 Zeilenvektoren bilden eine 3x5 Matrix. Diese so umformen, dass links aussen eine Einheitsmatrix (E3) steht. Dann kann ich die 3 ersten Komponenten der gesuchten Vektoren als Spalten 4 und 5 (s45) ablesen und ergänzen wie oben.
Der Beweis ist die einfache Berechnung dieser 3*2 Matrix (t=transponiert):
[(E3) (s45)] * [(s45)t (-E2)]t = (s45) - (s45) = 0
Bist du bei deiner ganzen antwort sicher? wenn ja ist alles okay! Danke schon mal
kannst du das mit der ergänzen vielleicht nochmal genauer beschreiben?
Gemeint ist die Ergänzung der beiden Spalten s45, die eine 3x2 Matrix bilden, zu einer 5x2 Matrix durch unten Anfügen der "minus 2x2 Einheitsmatrix" (-E2). So entstehen die (..., -1, 0) und (..., 0, -1) in den Lösungsvektoren. Dass die Lösung stimmt, kannst du natürlich einfach nachrechnen (Skalarprodukte mit geg. Vektoren sind alle = 0).
beantwortet von dandelin am 30. Dezember 2010 04:58 0x Die Antwort ist hilfreich? Dann klick mich!
So wie ich das verstehe, ist eine Basis des Orthogonalkomplements deines span{} gesucht, also zwei nicht proportionale Vektoren, die auf den drei gegebenen senkrecht stehen.
Hier meine Lösung: (10.5, 8, -41, -1, 0) und (5, 5, -22, 0, -1)
Wie habe ich sie gefunden? Die gegebenen 3 Zeilenvektoren bilden eine 3x5 Matrix. Diese so umformen, dass links aussen eine Einheitsmatrix (E3) steht. Dann kann ich die 3 ersten Komponenten der gesuchten Vektoren als Spalten 4 und 5 (s45) ablesen und ergänzen wie oben.
Der Beweis ist die einfache Berechnung dieser 3*2 Matrix (t=transponiert):
[(E3) (s45)] * [(s45)t (-E2)]t = (s45) - (s45) = 0 Kommentar von dandelin am 30. Dezember 2010 05:15
Aus den beiden Lösungsvektoren erhalte ich durch Linearkombination z.B. diese etwas "freundlicheren":
(1, -4, 6, -2, 4) und (7, -3, -10, -4, 7)
Noch eine Frage bist du dir da sicher???
Präziser könnte man ohne Skalarprodukt auskommen und den Annullator (auch Verschwindungsraum genannt) als 2-dim Unterraum von (R^5)* betrachten. Die beiden angegebenen Lösungen sind dann als Linearformen zu verstehen, eine Basis dieses Unterraums.
Du musst jetzt nurnoch die Basis von U zu einer Basis von R^5 ergänzen. Die hinzugekommenen Vektoren sind eine Basis deines Annulators! Tipp: guck welche kanonischen Basisvektoren von R^5 (Vektoren in denen nur 1 mal die 1 und sonst nur Nullen stehen) nicht von der Basis von U linear abhängig sind. Diese Vektoren sind Basis deines Annulators
Aus den beiden Lösungsvektoren erhalte ich durch Linearkombination z.B. diese etwas "freundlicheren":
(1, -4, 6, -2, 4) und (7, -3, -10, -4, 7)