Wie berechnet man normierte einheitsvektoren?

Hallo, könnte mir jemand beispielhaft erklären, wie man die einheitsvektoren berechnet und wie man prüft das sie eine Orthonomalbasis bilden. Außerdem verstehe ich nicht den Zusammenhang mit den zeitlichen Ableitungen, wie funktioniert das?

LG

Answer 1

[DrNumerus]

Ein Einheitsvektor ist erstmal nur ein Vektor, welcher auf die Länge 1 normiert ist. Im allgemeinen erreicht man das für einen Vektor v durch:

$\vec{e}_v=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Dieser Einheitsvektor zu v zeigt jetzt in die Richtung von v und hat die Länge 1.

Jetzt möchtest du im Falle der Einheitsvektoren bei Kugelkoordinaten den Vektor

$\vec{e}_r\sim \frac{\partial \vec{r}}{\partial r}$

als Ausgangspunkt haben, weil dieser die Richtung angibt, in dem sich der Vektor r ändert, wenn sich sein Betrag ändert. Diesen musst du dann noch normieren wie oben:

$\vec{e}_r=\frac{\partial \vec{r}}{\partial r}\cdot \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial r}\right|^{-1}$

und das ist schon die Formel die angegeben ist. Den Vektor r kannst du jetzt so umschreiben, dass dieser von den Kugelkoordinaten abhängt, also r, phi und theta, was dem Betrag von r, der projizierte Winkel zur x-Achse und der Winkel zur z-Achse beschreibt. Diesen Vektor stellst du auf und leitest ihn in diesem Fall komponentenweise nach Betrag r ab. Dann musst du das ganze eben nur noch durch seinen eigenen Betrag teilen.

Wenn du dies für jeden der drei Einheitsvektoren machst, kannst du die Orthogonalität überprüfen, indem du das Skalarprodukt von jedem Vektor mit jedem anderen Vektor berechnest. Da sollte dann nämlich heraus kommen:

$\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j=0\ \ \ \ \ \ \ i\neq j$

Dann sind sie zueinander orthogonal, und weil sie auch normiert sind sogar orthonormal!

Bei den zeitlichen Ableitungen leitest du ganz normal den Ausdruck nach der Zeit ab. Der normale Ausgangsvektor beschreibst du ja als

$\vec{r}=r\cdot\vec{e}_r$

wenn du dies nach der Zeit ableitest (und davon ausgehst, dass die Abhängigkeiten r, phi und theta ebenfalls von der Zeit abhängen), steht da aufgrund der Kettenregel:

$\dot{\vec{r}}=\dot{\vec{r}}\cdot \vec{e}_r+\vec{r}\cdot\dot{\vec{e}}_r$

$\text{mit } \dot{\vec{e}}_r=\frac{\partial \vec{e}_r}{\partial r}\cdot\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial \vec{e}_r}{\partial \varphi}\cdot\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial \vec{e}_r}{\partial \theta}\cdot\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$

Dies einfach ausrechnen und in die dir zu dem Zeitpunkt bekannten Einheitsvektoren überführen. Dabei musst du ein bisschen umformen und ausklammern. Sollte dann das rauskommen was du darunter geschrieben hast.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Physik Studium - Master in theoretischer Physik

Comments

[leaaaaaa240]

Vielen dank für die sehr ausführliche Antwort ich bin nun bei der Berechnung des Kreuzproduktes, gibt es noch eine Möglichkeit das ganze weiter zusammen zu fassen, kann es sein das ich hier etwas falsch mache?

[DrNumerus]

@leaaaaaa240

Du kannst auf jeden Fall noch so trigonometrische Identitäten nutzen. Sehr beliebt ist da z.B. sin^2(x)+cos^2(x)=1.

Im Prinzip sieht das schon ganz gut aus. Dein e_phi stimmt allerdings noch nicht ganz, da sollte (unter anderem) die letzte Komponente null sein. Diesen Einheitsvektor bekommst du ja dann idealerweise auch genau raus, wenn du das aufgeschriebene Kreuzprodukt richtig vereinfachst.