Wie berechne ich diese Matheaufgabe?

In einer Schulmensa wird das Essen nach der Zubereitung in Warmehaltebehälter gelagert, bis es an die Schüler ausgegeben wird. Die Temperatur des Essens zum Zeitpunkt nach dem Umfüllen kann näherungsweise beschrieben werden durch die Funktion: f(t) = 30+60*e^-0.015*t

(t ist größer gleich 0, t in Minuten und f(t) in grad Celsius)

a) Geben Sie die Temperatur an, mit der das Essen in die Warmhaltebehälter gefüllt wird Berechnen Sie die Temperatur des Essens, 10 Minuten nach dem Umfüllen.

b) Aus Gründen der Lebensmittalsicherheit muss die Temperatur des ausgegebenen Essens mindestens 65°C betragen. Wie lange wird diese Vorschrift eingehalten?

c) Zeige, dass das die Temperatur immer abnimmt.

d) Mir welcher Temperatur ist langfristig zu rechnen?

e) In weichem 5-Minuten Abschnitt sinkt die Temperatur um 2°C?

Answer 1

[evtldocha]

Wie berechne ich diese Matheaufgabe?

Aufgabe a) Berechne f(0), f(10) nach dem nochmaligen genauen Lesen der Einleitung der Aufgabe und einem Verständnis, was die Funktion f(t) angibt.

Aufgabe b) Löse die Gleichung f(t) = 65

Aufgabe c) Bestimme das Vorzeichen der ersten Ableitung. Das kann man schon aus der Ferne sehen, dass die 1. Ableitung negativ sein wird, da im Exponenten ein "minus 0,015" steht und damit das Minus-Vorzeichen beim Ableiten mit der Kettenregel nach unten kommen wird.

Aufgabe d) bestimme Grenzwert "t nach unendlich"

Aufgabe e) Berechne f(t+5) - f(t) = -2

Nachtrag nach Kommentar zu Aufgabe e)

$f\left(t+5\right)-f\left(t\right)\ =\ 60\cdot\left(e^{-0,015\cdot\left(t+5\right)}-e^{-0,015\cdot t}\right)=$ $=60\cdot\left(e^{-0,015\cdot t}\cdot e^{-0,015\cdot5}\ -e^{0,015\cdot t}\right)=60\cdot e^{-0.015\cdot t}\cdot\left(e^{-0,075}-1\right)$

Nach dieser Umformung ist zu lösen:

$60\cdot e^{-0,015\cdot t}\cdot\left(e^{-0,075}-1\right)=-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ |:\ 60\ \ \ |:\ \left(e^{-0,075}-1\right)$ $e^{-0,015\cdot t\ }=\ \frac{1}{30\cdot\left(1-e^{.0,075}\right)}\ \ \ \ \ \ |\ln$ $-0,015\cdot t\ =\ \ln\left(\frac{1}{30\cdot\left(1-e^{-0.075}\right)}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ |\ :\ -0,015$

$t\ =\ -\frac{1}{0,015}\cdot\ln\left(\frac{1}{30\cdot\left(1-e^{-0,075}\right)}\right)\ \approx\ 51,6$

Die Temperatur fällt im 5-Minuten Intervall von [51,6; 56,6] um zwei Grad.

Comments

[Sevenyellows]

Warum fällt die +30 weg bei f(t)?

[evtldocha]

@Sevenyellows

Ist das wirklich Deine Frage?

Die fällt nicht bei f(t) weg, sondern bei "f(t+5) - f(t)"

a = x + 30
b = y +30

a - b = x + 30 - (y + 30) ) = x + 30 - y -30 = x - y + 30 - 30

+30 - 30 = 0

(Ich hätte es mal an Deiner Stelle mit Hinschreiben der Differenz versucht)

[Sevenyellows]

Hey dankeeee!!!

Wie genau berechne ich jetzt aber die e)?

[evtldocha]

@Sevenyellows

Steht doch da. Wo hast Du ein Problem beim Lösen? Egal, ich schreibe Dir einen Nachtrag. Dauert ein paar Minuten.